Последовательность Рекамана
a₀ = 0. На каждом шаге n член aₙ равен aₙ₋₁ − n, если это целое число положительно и ещё не встречалось в последовательности. Иначе aₙ равен aₙ₋₁ + n. Первые члены: 0, 1, 3, 6, 2, 7, 13, 20, 12, 21, 11, 22, 10, 23, 9, 24. PictorX рисует каждый прыжок полуокружностью, объясняет причину выбора и отмечает наименьшее положительное целое число, до которого начало последовательности ещё не дошло. Полуокружности чередуются над числовой прямой и под ней. Перетаскивайте для перемещения, прокручивайте для масштаба, дважды щёлкните, чтобы вписать. Включите Звук, чтобы слышать каждый прыжок.
Как это работает
- Откройте эту страницу и смотрите, как полуокружности растут над числовой прямой и под ней.
- Переключитесь на Шаги, чтобы прочитать, почему выбран каждый член, или на Пропущенные числа, чтобы увидеть наименьший пробел.
- Включите звук, затем сохраните PNG или продолжите в редакторе PictorX.
Назад, если место свободно
Последовательность начинается с 0. Шаг n вычитает n, если результат - положительное целое число, которого ещё не было. Если это место отрицательно или уже занято, шаг вместо этого прибавляет n. Ноль - начальный член, поэтому прыжок обратно на 0 запрещён. Первые пятнадцать членов: 0, 1, 3, 6, 2, 7, 13, 20, 12, 21, 11, 22, 10, 23, 9, 24.
Полуокружности, а затем пробелы
Полуокружность диаметром n соединяет каждый член со следующим. Нечётные шаги изгибаются над прямой, чётные - под ней. Бирюзовый цвет значит, что шаг прыгнул назад на свободное число. Янтарный значит, что пришлось прыгнуть вперёд. После первых пятнадцати членов числа 4 всё ещё нет. Оно появляется на шаге 131. Пропущенные числа показывает наименьший пробел в любом начале последовательности, которое вы рисуете.
Гипотеза, всё ещё открытая
Нил Слоан предположил, что каждое неотрицательное целое число рано или поздно появляется. Гипотеза не доказана. Бенджамин Чаффин сообщил в феврале 2026 года, что после 10^612 членов наименьшим пропущенным числом по-прежнему остаётся 852 655. Рисунок, таблица шагов и мелодия работают прямо в вашем браузере.
Часто задаваемые вопросы
Что такое последовательность Рекамана?
Последовательность с a₀ = 0, в которой при n > 0 aₙ = aₙ₋₁ − n, если это значение положительно и новое. Иначе aₙ = aₙ₋₁ + n. Она начинается так: 0, 1, 3, 6, 2, 7, 13, 20, 12, 21, 11, 22, 10, 23, 9, 24.
Почему шаг 7 попадает на 20?
13 − 7 = 6, а 6 уже есть в последовательности, поэтому прыжок назад запрещён. Шаг прибавляет 7 и попадает на 20.
Что показывают полуокружности?
Каждая дуга соединяет член со следующим и имеет диаметр n. Нечётные шаги идут над числовой прямой, чётные - под ней. Бирюзовые дуги - прыжки назад. Янтарные дуги - прыжки вперёд.
Появляется ли каждое число?
Это открытая гипотеза Нила Слоана: каждое неотрицательное целое число появляется. После 10^612 членов наименьшим пропущенным числом по-прежнему остаётся 852 655.
Вычисления выполняются в моём браузере?
Да. Последовательность, дуги, пробелы и мелодия вычисляются на вашем устройстве. Сохраните PNG или откройте холст в редакторе PictorX.
Сопутствующие инструменты
Последовательность Рекамана
Как последовательность Рекамана прыгает на n назад, если место свободно, почему иногда прыгает вперёд и почему 852 655 всё ещё отсутствует после 10^612 членов.
Последовательность Фибоначчи
Каждое число Фибоначчи — сумма двух предыдущих. Смотрите, как квадраты складываются в спираль, отношения стремятся к золотому сечению, а формула Бине восстанавливает те же числа.
Гипотеза Коллатца
Исследуйте задачу Коллатца 3n+1 в браузере. Проходите последовательности «градин», выращивайте геометрическое дерево Коллатца и приближайте непрерывный фрактал Коллатца.
Спираль Улама
Постройте спираль Улама в браузере. Отметьте простые числа, прочитайте квадратичный многочлен каждой диагонали и откройте непрерывную серию из 40 простых чисел Эйлера.
Круги умножения
Соедините каждое число на круге с его кратным. Нарисуйте таблицу умножения, кардиоиду или фигуру из нити на бумаге, мелом или на дереве.
Муравей Лэнгтона
Запустите муравья Лэнгтона в браузере. Посмотрите на симметрию, хаос и шоссе с циклом в 104 шага, а затем попробуйте многоцветные правила, нескольких муравьёв, шестиугольную сетку и турмитов.
Готовы попробовать?
Откройте PictorX в своем браузере — установка не требуется, для запуска не требуется кредитная карта.
Перейти в редактор