Acul lui Buffon
Lasă să cadă un ac de lungime l pe o podea cu linii paralele aflate la distanța d. Dacă acul nu e mai lung decât distanța, probabilitatea să intersecteze o linie este 2l/(πd). PictorX face aruncările pentru tine, desenează fiecare ac și întoarce calculul, astfel încât același experiment să estimeze π. Apasă redare pentru a lăsa ace să cadă la întâmplare. Din intersecții se estimează π. Cu acul cât jumătate din distanță, π este aproximativ aruncări împărțite la intersecții. Trage pe podea pentru a așeza un ac de mână; acela nu se numără.
Cum funcţionează
- Deschide această pagină și apasă redare. Acele cad la întâmplare pe linii.
- Urmărește cum se stabilizează π. Cu acul cât jumătate din distanță, este aruncări împărțite la intersecții.
- Deschide diagrama sinusului, așază un ac de mână sau lasă o mie să cadă deodată, apoi salvează un PNG.
Două numere decid o intersecție
O aruncare este fixată de distanța x de la centrul acului la cea mai apropiată linie și de unghiul θ dintre ac și linii. x ia valori de la 0 la d/2. θ ia valori de la 0 la π, pentru că un ac nu are cap și o jumătate de rotație acoperă orice direcție. Acul intersectează o linie când x ≤ (l/2) sin θ.
Formula acului scurt
Pentru l ≤ d, probabilitatea unei intersecții este P = 2l/(πd). Perechile (θ, x) umplu un dreptunghi lat de π și înalt de d/2. Intersecțiile sunt aria de sub curba sinusului, iar această arie este l. Împărțind cele două arii, π rămâne la numitor. La l = d/2 probabilitatea este 1/π, deci π este aproximativ aruncări împărțite la intersecții.
O cale lentă de a găsi π
Formula rearanjată este π ≈ 2l·N / (d·N_hit). Este o estimare Monte Carlo, și una ineficientă. Câteva mii de aruncări fac de obicei recognoscibile primele cifre. Următoarea cifră cere un număr mult mai mare. ± de lângă afișaj este o eroare standard a raportului. Trage pe podea pentru a așeza un singur ac și a-i vedea x și θ. Acel ac este desenat și lăsat în afara numărătorii.
Întrebări frecvente
Ce este acul lui Buffon?
Un ac de lungime l lăsat să cadă pe linii paralele aflate la distanța d. Pentru un ac scurt, l ≤ d, probabilitatea să intersecteze o linie este 2l/(πd).
De ce apare π în răspuns?
Direcția acului este un unghi de la 0 la π. Toate căderile posibile umplu un dreptunghi cu această lățime, iar intersecțiile sunt aria de sub o curbă a sinusului. Împărțind aceste arii, π rămâne la numitor.
Cum estimează experimentul π?
Numără aruncările N și intersecțiile N_hit. Atunci π ≈ 2l·N / (d·N_hit). Cu acul cât jumătate din distanță, înseamnă aruncări împărțite la intersecții.
De ce nu se numără un ac așezat de mână?
Estimarea are nevoie de o poziție și un unghi aleatorii. Un ac pe care îl tragi la locul lui este desenat ca să vezi x și θ, dar nu se adaugă la N sau la N_hit.
Unelte conexe
Acul lui Buffon
Problema acului lui Buffon din 1777: de ce un ac lăsat să cadă pe linii paralele estimează π, cum rezultă probabilitatea 2l/(πd) a acului scurt din aria de sub o curbă a sinusului și de ce experimentul converge lent.
Cercuri de înmulțire
Unește fiecare număr de pe un cerc cu multiplul său. Desenează o tablă a înmulțirii, o cardioidă sau o figură din fir pe hârtie, cu cretă sau pe lemn.
Spirala lui Ulam
Desenează spirala lui Ulam în browser. Marchează numerele prime, citește polinomul de gradul al doilea de pe fiecare diagonală și deschide șirul neîntrerupt de 40 de numere prime al lui Euler.
Conjectura Collatz
Explorează problema Collatz 3n+1 în browser. Urmărește șiruri grindină, crește un arbore Collatz geometric și mărește fractalul Collatz continuu.
Furnica lui Langton
Rulează furnica lui Langton în browser. Urmărește simetria, haosul și autostrada de 104 pași, apoi încearcă reguli multicolore, mai multe furnici, o grilă hexagonală și turmite.
Atractor Lorenz
Atractor Lorenz interactiv: reglează a, b, f, rotește în 3D, încearcă aspecte neon/cerneală/fum și salvează un PNG.
Atractorul Lorenz
Cum ecuațiile meteo ale lui Edward Lorenz au dezvăluit teoria haosului: atractorul fluture, dependența sensibilă de condițiile inițiale și de ce eșuează prognozele pe termen lung.
Eşti gata să încerci?
Deschide PictorX în browser-ul tău
Du-te la editor