Gratis Buffons nål | Skatta π genom att släppa nålar

Hur det fungerar

Öppna sidan och tryck på spela upp. Nålarna faller slumpmässigt på linjerna.
Se π stabilisera sig. Med nålen hälften så lång som avståndet är det kast delat med korsningar.
Öppna sinusdiagrammet, lägg en nål för hand eller släpp tusen på en gång och spara sedan en PNG.

Två tal avgör en korsning

Ett kast bestäms av avståndet x från nålens mitt till närmaste linje och av vinkeln θ mellan nålen och linjerna. x går från 0 till d/2. θ går från 0 till π, eftersom en nål saknar huvud och ett halvt varv täcker alla riktningar. Nålen korsar när x ≤ (l/2) sin θ.

Formeln för den korta nålen

För l ≤ d är sannolikheten för en korsning P = 2l/(πd). Paren (θ, x) fyller en rektangel som är π bred och d/2 hög. Korsningarna är arean under sinuskurvan, och den arean är l. När de två areorna divideras står π kvar i nämnaren. Vid l = d/2 är sannolikheten 1/π, så π är ungefär kast delat med korsningar.

Ett långsamt sätt att hitta π

Omskriven blir formeln π ≈ 2l·N / (d·N_hit). Det är en Monte Carlo-skattning, och en ineffektiv sådan. Några tusen kast brukar göra de första siffrorna igenkännliga. Nästa siffra kräver ett mycket större antal. ± bredvid avläsningen är ett standardfel för kvoten. Dra på golvet för att lägga en enda nål och se dess x och θ. Den nålen ritas men räknas inte.

Ofta ställda frågor

Vad är Buffons nål?

En nål med längden l som släpps på parallella linjer med avståndet d. För en kort nål, l ≤ d, är sannolikheten att den korsar en linje 2l/(πd).

Varför finns π i svaret?

Nålens riktning är en vinkel från 0 till π. Alla möjliga fall fyller en rektangel med den bredden, och korsningarna är arean under en sinuskurva. När de areorna divideras står π kvar i nämnaren.

Hur skattar experimentet π?

Räkna kasten N och korsningarna N_hit. Då är π ≈ 2l·N / (d·N_hit). Med nålen hälften så lång som avståndet blir det kast delat med korsningar.

Varför räknas inte en nål som lagts för hand?

Skattningen kräver ett slumpmässigt läge och en slumpmässig vinkel. En nål som du drar på plats ritas så att du ser x och θ, men den läggs inte till N eller N_hit.