Gratis Buffons nål | Estimér π ved at slippe nåle

Sådan virker det

Åbn denne side, og tryk på afspil. Nålene falder tilfældigt på linjerne.
Se π falde til ro. Med nålen på halvdelen af afstanden er det kast divideret med krydsninger.
Åbn sinusdiagrammet, læg én nål med hånden, eller slip tusind på én gang, og gem derefter en PNG.

To tal afgør en krydsning

Et kast er bestemt af afstanden x fra nålens midte til nærmeste linje og af vinklen θ mellem nålen og linjerne. x går fra 0 til d/2. θ går fra 0 til π, for en nål har intet hoved, og en halv omdrejning dækker alle retninger. Nålen krydser, når x ≤ (l/2) sin θ.

Formlen for den korte nål

For l ≤ d er sandsynligheden for en krydsning P = 2l/(πd). Parrene (θ, x) udfylder et rektangel, der er π bredt og d/2 højt. Krydsningerne er arealet under sinuskurven, og det areal er l. Når de to arealer divideres, står π tilbage i nævneren. Ved l = d/2 er sandsynligheden 1/π, så π er omtrent kast divideret med krydsninger.

En langsom vej til π

Omskrevet lyder formlen π ≈ 2l·N / (d·N_hit). Det er et Monte Carlo-estimat, og et ineffektivt et af slagsen. Nogle tusind kast gør som regel de første cifre genkendelige. Det næste ciffer kræver et langt større antal. ± ved siden af visningen er én standardfejl på forholdet. Træk på gulvet for at lægge en enkelt nål og se dens x og θ. Den nål tegnes, men tælles ikke med.

Ofte stillede spørgsmål

Hvad er Buffons nål?

En nål med længden l, der slippes ned på parallelle linjer med afstanden d. For en kort nål, l ≤ d, er sandsynligheden for, at den krydser en linje, 2l/(πd).

Hvorfor indgår π i svaret?

Nålens retning er en vinkel fra 0 til π. Alle mulige fald udfylder et rektangel med den bredde, og krydsningerne er arealet under en sinuskurve. Når de arealer divideres, står π tilbage i nævneren.

Hvordan estimerer eksperimentet π?

Tæl kastene N og krydsningerne N_hit. Så er π ≈ 2l·N / (d·N_hit). Med nålen på halvdelen af afstanden er det kast divideret med krydsninger.

Hvorfor tælles en nål lagt med hånden ikke med?

Estimatet kræver en tilfældig position og en tilfældig vinkel. En nål, du trækker på plads, tegnes, så du kan se x og θ, men lægges ikke til N eller N_hit.