Ücretsiz Buffon iğnesi | İğne düşürerek π’yi tahmin edin

Nasıl çalışır

Bu sayfayı açın ve oynat’a basın. İğneler çizgilerin üzerine rastgele düşer.
π’nin oturmasını izleyin. İğne aralığın yarısıysa π, atış sayısı bölü kesişme sayısıdır.
Sinüs diyagramını açın, elle bir iğne yerleştirin ya da bin tanesini birden düşürün, ardından PNG olarak kaydedin.

Kesişmeye iki sayı karar verir

Bir atışı, iğnenin merkezinden en yakın çizgiye olan x uzaklığı ile iğne ve çizgiler arasındaki θ açısı belirler. x, 0’dan d/2’ye kadar değişir. θ ise 0’dan π’ye kadar değişir, çünkü iğnenin başı yoktur ve yarım tur her yönü kapsar. x ≤ (l/2) sin θ olduğunda iğne çizgiyi keser.

Kısa iğne formülü

l ≤ d için kesişme olasılığı P = 2l/(πd)’dir. (θ, x) çiftleri genişliği π, yüksekliği d/2 olan bir dikdörtgeni doldurur. Kesişmeler sinüs eğrisinin altındaki alandır ve bu alan l’dir. İki alan birbirine bölündüğünde paydada π kalır. l = d/2 iken olasılık 1/π’dir, yani π yaklaşık olarak atış sayısı bölü kesişme sayısıdır.

π’yi bulmanın yavaş bir yolu

Yeniden düzenlenen formül π ≈ 2l·N / (d·N_hit) olur. Bu bir Monte Carlo tahminidir, üstelik verimsiz bir tahmin. Birkaç bin atış genellikle ilk basamakları tanınır hale getirir. Sonraki basamak çok daha fazla atış ister. Göstergenin yanındaki ±, oranın bir standart hatasıdır. Tek bir iğne yerleştirip x ve θ değerlerini görmek için zeminde sürükleyin. Bu iğne çizilir ama sayıma katılmaz.

Sık sorulan sorular

Buffon iğnesi nedir?

Aralarında d mesafe olan paralel çizgilerin üzerine düşürülen l uzunluğunda bir iğne. Kısa bir iğne için, l ≤ d, bir çizgiyi kesme olasılığı 2l/(πd)’dir.

Cevapta neden π var?

İğnenin yönü 0 ile π arasında bir açıdır. Olası tüm düşüşler bu genişlikte bir dikdörtgeni doldurur ve kesişmeler bir sinüs eğrisinin altındaki alandır. Bu alanlar bölündüğünde paydada π kalır.

Deney π’yi nasıl tahmin eder?

Atış sayısını N, kesişme sayısını N_hit olarak sayın. O zaman π ≈ 2l·N / (d·N_hit) olur. İğne aralığın yarısıysa bu, atış sayısı bölü kesişme sayısıdır.

Elle yerleştirilen iğne neden sayılmaz?

Tahmin rastgele bir konum ve rastgele bir açı gerektirir. Sürükleyerek yerleştirdiğiniz iğne, x ve θ değerlerini görebilmeniz için çizilir, ancak N’ye veya N_hit’e eklenmez.