Gratis brachistochroonrace | De snelste weg naar beneden

Hoe het werkt

Open deze pagina en de race begint. Vijf ballen vertrekken samen uit A. De tijdmarkeringen tonen waar elke bal elke tiende seconde was.
Sleep B om de finish te verplaatsen, of teken je eigen baan op het beeld. Probeer de cycloïde te verslaan.
Zet Modus op Cycloïdekom: ballen die je van verschillende hoogtes loslaat, komen tegelijk onderaan aan. Sla daarna een PNG op.

Eerst steil, dan snel

Een bal die aan het begin steil valt, krijgt vroeg snelheid en houdt die de rest van de weg. Een bal op de rechte helling neemt de kortste weg, maar komt maar langzaam op snelheid. De beste baan houdt die twee in evenwicht: steil aan het begin, later vlakker. Dat evenwicht is de cycloïde.

De kromme van een rollend wiel

Rol een wiel langs een lijn en volg één punt op de rand: dat beschrijft een cycloïde. Zet je die op zijn kop, van A naar B, dan is het de brachistochroon. Als B ver opzij ligt en niet erg laag, duikt de cycloïde zelfs onder B en klimt weer omhoog, en wint toch.

Dezelfde tijd vanaf elke hoogte

In een kom met de vorm van een cycloïde bereikt een bal, losgelaten vanaf elke hoogte, de bodem in dezelfde tijd: π√(a/g), waarbij a de straal van het rollende wiel is. Dit is de tautochroon. In een ronde kom komen de ballen die hoger starten later aan.

Veelgestelde vragen

Waarom is de rechte lijn niet het snelst?

Het is de kortste weg, maar niet de snelste. Op een flauwe helling krijgt de bal maar langzaam snelheid. Een baan die eerst steil daalt, brengt de bal vroeg op snelheid, en die snelheid betaalt zich uit over de langere weg.

Wie loste het brachistochroonprobleem op?

Johann Bernoulli stelde het in 1696. Oplossingen kwamen van Johann zelf, zijn broer Jakob, Leibniz, Newton en anderen. Die van Newton werd zonder zijn naam gepubliceerd, en Bernoulli zou hem eraan herkend hebben, zoals de leeuw aan zijn klauw.

Veranderen massa en zwaartekracht de winnaar?

Nee. De massa van de bal speelt geen rol, en een sterkere zwaartekracht maakt elke bal met dezelfde factor sneller. De volgorde van de race blijft gelijk, ook op de maan.

Kan mijn eigen baan winnen?

Alleen als hij heel dicht bij de cycloïde komt. Een baan die hoger komt dan A, brengt de bal nooit bij B, want zonder wrijving kan een bal nooit hoger klimmen dan waar hij begon.

Wordt er iets geüpload?

Nee. De race wordt op een canvas in je browser getekend. Opslaan downloadt een PNG. Bewerken opent dat beeld in de PictorX-editor.