Закон Снеллиуса и преломление света
Спасатель видит пловца, попавшего в беду. Бежать по прямой — не самый быстрый путь: по песку спасатель бежит быстрее, чем плывёт, поэтому выгодно пробежать больше и проплыть меньше. Самый быстрый путь делает излом у кромки воды, и свет делает ровно то же самое, переходя из воздуха в воду. Закон Снеллиуса говорит, где окажется этот излом. Выберите сцену. «Спасатель»: перетащите спасателя, пловца или кольцо на берегу и нажмите «Гонка». «Луч света»: перетащите лазер и выберите два материала. «Брахистохрона»: добавляйте слои и смотрите, как путь света превращается в циклоиду.
Как это работает
- В сцене «Спасатель» перетащите спасателя и пловца и нажмите «Гонка»: ломаный путь обгоняет прямой.
- В сцене «Луч света» перетащите лазер и выберите два материала. Если угол больше критического, свет наружу не выходит.
- В сцене «Брахистохрона» добавляйте слои и смотрите, как свет изгибается в циклоиду — кривую наискорейшего спуска, а затем сохраните PNG.
Задача спасателя
Спасатель бежит по песку со скоростью 7 м/с и плывёт в море со скоростью 1,5 м/с. Самый быстрый маршрут пересекает берег в точке, где sin θ₁ / v₁ = sin θ₂ / v₂, причём каждый угол отсчитывается от перпендикуляра к берегу. Перетаскивайте белое кольцо вдоль берега, чтобы попробовать другие точки пересечения: любая из них медленнее золотого пути. При равных скоростях самый быстрый путь — прямая.
Свет выбирает самый быстрый путь
В воздухе свет движется со скоростью около 300 000 км в секунду, а в воде — лишь около 225 000 км в секунду, в стекле и алмазе ещё медленнее. Показатель преломления n говорит, во сколько раз медленнее: в материале с показателем n скорость света равна его скорости в вакууме, делённой на n. Как и спасатель, свет пересекает границу там, где n₁ sin θ₁ = n₂ sin θ₂. В приложении гребни волн на луче сгущаются там, где свет замедляется, а доля, которая отражается назад, растёт по мере того, как луч становится более пологим.
Полное внутреннее отражение
Переходя из оптически более плотного материала в менее плотный, свет отклоняется от нормали. При критическом угле преломлённый луч скользит вдоль поверхности, а при больших углах свет вообще не выходит наружу: всё отражается. Для перехода из воды в воздух этот угол равен 48,8°, для стекла — 41,8°, а для алмаза — всего 24,4°, поэтому огранённый алмаз удерживает свет и сверкает. Оптические волокна передают свет точно так же.
От слоёв к брахистохроне
Шар, скользящий по кривой, разгоняется по мере падения: опустившись на высоту y, он движется со скоростью √(2gy). Иоганн Бернулли увидел, что самый быстрый спуск — это путь света в среде, где скорость растёт точно так же. Разрежьте эту среду на тонкие слои и примените закон Снеллиуса на каждой границе, чтобы величина sin θ / v оставалась одинаковой. С одним слоем путь — прямая; с увеличением числа слоёв он изгибается и становится быстрее, пока не совпадёт с циклоидой.
Часто задаваемые вопросы
Что такое закон Снеллиуса?
Когда свет переходит из одного материала в другой, n₁ sin θ₁ = n₂ sin θ₂, где n — показатель преломления каждого материала, а θ — угол, отсчитанный от нормали. Если записать через скорости: sin θ₁ / v₁ = sin θ₂ / v₂.
Почему свет вообще преломляется?
Потому что в разных материалах он движется с разной скоростью. Принцип Ферма гласит, что свет идёт по пути наименьшего времени, и, как у спасателя, самый быстрый путь изгибается там, где меняется скорость. Волновая картина говорит то же самое: часть волнового фронта, которая первой входит в более медленный материал, отстаёт, и фронт поворачивает.
Что такое критический угол?
Угол, при превышении которого свет, идущий в менее плотный материал, не может выйти наружу и полностью отражается: sin θc = n₂ / n₁. Для перехода из воды в воздух он равен 48,8°, для стекла — 41,8°, для алмаза — 24,4°.
Как это связано с брахистохроной?
Иоганн Бернулли решил задачу о брахистохроне, кривой наискорейшего спуска, рассматривая падающий шар как свет в слоях, где скорость растёт как √(2gy). Закон Снеллиуса в каждом слое изгибает путь в циклоиду.
Что-нибудь загружается?
Нет. Всё рисуется на холсте в браузере. Кнопка «Сохранить» скачивает PNG. Кнопка «Редактировать» открывает это изображение в редакторе PictorX.
Сопутствующие инструменты
Закон преломления Снеллиуса
История и физика закона Снеллиуса: Ибн Сахль, Снеллиус и Декарт, принцип наименьшего времени Ферма, задача о спасателе, полное внутреннее отражение и то, как Бернулли с помощью света нашёл брахистохрону.
Гонка по брахистохроне
Устройте гонку шаров от A до B по прямому скату, дуге окружности, параболе и циклоиде. Циклоида всегда побеждает, даже когда опускается ниже финиша. Нарисуйте свою трассу.
Брахистохрона
Что такое брахистохрона: почему циклоида обгоняет прямую, как решили задачу-вызов Бернулли 1696 года и почему циклоидная чаша — это ещё и таутохрона.
Маятниковая волна
Пятнадцать маятников, каждый чуть короче предыдущего. Отпустите их вместе и смотрите, как они расходятся волнами, делятся на ряды и снова качаются в такт.
Доска Гальтона
Бросайте шары сквозь ряды штырьков и смотрите, как ячейки заполняются по колоколообразной кривой. Меняйте число рядов, смещение и число шаров и сравнивайте среднее и разброс с теорией.
Оптические иллюзии
Играйте в браузере с 13 классическими оптическими иллюзиями, большинство из которых создаются из вашего собственного фото: цвет из серого, остаточное изображение, вращающаяся спираль, скрытая картинка, стена кафе, спираль Фрейзера, дрейфующие колёса и другие. Включите «Раскрыть секрет», чтобы увидеть, как работает каждая.
Готовы попробовать?
Откройте PictorX в своем браузере — установка не требуется, для запуска не требуется кредитная карта.
Перейти в редактор