Brachistokronloppet
Vilken bana tar en kula snabbast från A till B? Inte den raka. Varje kula startar från vila och glider utan friktion, och cykloiden, kurvan som en punkt på ett rullande hjul ritar, vinner varje gång. Den kallas brachistokronen: kortaste tid. Dra B för att flytta målet, eller rita din egen bana på bilden. Varje kula startar från vila i A och glider utan friktion. Cykloiden är den snabbaste vägen ner, även där den dyker under målet.
Hur det fungerar
- Öppna sidan så startar loppet. Fem kulor lämnar A samtidigt. Tidsmarkeringarna visar var varje kula var varje tiondels sekund.
- Dra B för att flytta målet, eller rita din egen bana på bilden. Försök slå cykloiden.
- Ställ Läge på Cykloidskål: kulor som släpps från olika höjder når botten samtidigt. Spara sedan en PNG.
Brant först, sedan snabbt
En kula som faller brant i början får upp farten tidigt och behåller den resten av vägen. En kula på den raka rampen tar den kortaste vägen, men den samlar fart långsamt. Den bästa banan balanserar de två: brant i början, flackare senare. Den balansen är cykloiden.
Kurvan från ett rullande hjul
Rulla ett hjul längs en linje och följ en punkt på dess kant: den ritar en cykloid. Vänd upp och ner, från A till B, är den brachistokronen. När B ligger långt åt sidan och inte särskilt lågt dyker cykloiden till och med under B och klättrar upp igen, och den vinner ändå.
Samma tid från varje höjd
I en skål formad som en cykloid når en kula som släpps från vilken höjd som helst botten på samma tid: π√(a/g), där a är radien på det rullande hjulet. Det här är tautokronen. I en rund skål kommer kulorna från högre upp fram senare.
Ofta ställda frågor
Varför är inte den raka linjen snabbast?
Den är den kortaste vägen, men inte den snabbaste. På en svag lutning får kulan fart långsamt. En bana som först faller brant får kulan att röra sig snabbt tidigt, och den farten lönar sig över den längre vägen.
Vem löste brachistokronproblemet?
Johann Bernoulli ställde det 1696. Lösningar kom från Johann själv, hans bror Jakob, Leibniz, Newton och andra. Newtons publicerades utan hans namn, och Bernoulli sägs ha känt igen honom på den, som lejonet på dess klo.
Ändrar massa och tyngdkraft vinnaren?
Nej. Kulans massa spelar ingen roll, och starkare tyngdkraft gör alla kulor snabbare med samma faktor. Ordningen i loppet blir densamma, även på månen.
Kan min egen bana vinna?
Bara genom att komma mycket nära cykloiden. En bana som stiger över A får aldrig kulan till B, eftersom en kula utan friktion aldrig kan klättra högre än där den startade.
Laddas något upp?
Nej. Loppet ritas på en canvas i webbläsaren. Spara laddar ner en PNG. Redigera öppnar bilden i PictorX-redigeraren.
Relaterade verktyg
Brachistokron
Vad brachistokronen är: varför cykloiden slår den raka linjen, hur Bernoullis utmaning från 1696 löstes, och varför en cykloidskål också är tautokronen.
Snells lag och ljusets brytning
Se varför ljus bryts. Låt en livräddare tävla över sand och hav, lys med en laser från luft in i vatten, glas eller diamant, och se ljus genom tunna lager rita brachistokronen.
Pendelvåg
Femton pendlar, var och en lite kortare än den förra. Släpp dem samtidigt och se dem glida in i vågor, dela sig i rader och svänga i takt igen.
Newtons vagga
Lyft en stålkula och låt den falla. Klicket skickar rörelsen till andra sidan. Se höjden bli till rörelse.
Galtonbräda
Släpp kulor genom rader av spikar och se en klockkurva fylla facken. Ändra raderna, lutningen och antalet kulor, och jämför medelvärde och spridning med teorin.
Spirograf
Rita hypotrochoider och epitrochoider i webbläsaren. Justera R, r och pennoffset, animera, slumpa och spara en PNG.
Buffons Nål
Släpp nålar på ett linjerat golv i webbläsaren. Räkna korsningarna och se Buffons experiment från 1777 skatta π.
Dubbelpendel
Simulera en klassisk dubbelpendel i webbläsaren. Måla kaotiska spår från spetsen, långexponeringsbanor eller förvräng ett mjukt fält — spara sedan en PNG.
Redo att prova det?
Öppna PictorX i din webbläsare - ingen installation, inget kreditkort krävs för att starta.
Gå till Editor