Gara della brachistocrona
Quale pista porta una sfera da A a B più in fretta? Non quella dritta. Ogni sfera parte da ferma e scivola senza attrito, e la cicloide, la curva tracciata da un punto di una ruota che rotola, vince ogni volta. Il suo nome è brachistocrona: tempo più breve. Trascina B per spostare l’arrivo, oppure disegna la tua pista sull’immagine. Ogni sfera parte ferma da A e scivola senza attrito. La cicloide è la discesa più veloce, anche dove scende sotto l’arrivo.
Come funziona
- Apri questa pagina e la gara parte. Cinque sfere lasciano A insieme. I marcatori di tempo mostrano dove si trovava ogni sfera a ogni decimo di secondo.
- Trascina B per spostare l’arrivo, oppure disegna la tua pista sull’immagine. Prova a battere la cicloide.
- Imposta Modalità su Conca cicloidale: sfere lasciate andare da altezze diverse arrivano in fondo insieme. Poi salva un PNG.
Prima ripida, poi veloce
Una sfera che all’inizio scende ripida prende velocità presto e la mantiene per il resto del percorso. Una sfera sulla rampa dritta fa il percorso più breve, ma acquista velocità lentamente. La pista migliore bilancia le due cose: ripida all’inizio, più piatta dopo. Questo equilibrio è la cicloide.
La curva di una ruota che rotola
Fai rotolare una ruota lungo una linea e segui un punto del suo bordo: traccia una cicloide. Capovolta, da A a B, è la brachistocrona. Quando B è molto spostato di lato e non molto in basso, la cicloide scende perfino sotto B e poi risale, e vince comunque.
Lo stesso tempo da ogni altezza
In una conca a forma di cicloide, una sfera lasciata andare da qualsiasi altezza arriva in fondo nello stesso tempo: π√(a/g), dove a è il raggio della ruota che rotola. È la tautocrona. In una conca rotonda le sfere partite più in alto arrivano più tardi.
Domande frequenti
Perché la linea retta non è la più veloce?
È il percorso più breve, ma non il più rapido. Su una pendenza dolce la sfera prende velocità lentamente. Una pista che prima scende ripida fa andare veloce la sfera fin da subito, e quella velocità ripaga il percorso più lungo.
Chi ha risolto il problema della brachistocrona?
Johann Bernoulli lo propose nel 1696. Le soluzioni arrivarono da Johann stesso, da suo fratello Jakob, da Leibniz, da Newton e da altri. Quella di Newton fu pubblicata senza il suo nome, e si dice che Bernoulli vi abbia riconosciuto l’autore, come si riconosce il leone dall’artiglio.
Massa e gravità cambiano il vincitore?
No. La massa della sfera non conta, e una gravità più forte rende ogni sfera più veloce dello stesso fattore. L’ordine della gara resta lo stesso, anche sulla Luna.
La mia pista può vincere?
Solo se si avvicina moltissimo alla cicloide. Una pista che sale sopra A non porta mai la sfera a B, perché senza attrito una sfera non può mai salire più in alto del punto da cui è partita.
Questo carica qualcosa?
No. La gara è disegnata su una tela nel browser. Salva scarica un PNG. Modifica apre quell’immagine nell’editor di PictorX.
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