Wyścig brachistochrony
Który tor najszybciej doprowadzi kulę z A do B? Nie prosty. Każda kula startuje ze spoczynku i zsuwa się bez tarcia, a cykloida, krzywa zakreślana przez punkt toczącego się koła, wygrywa za każdym razem. Jej nazwa to brachistochrona: najkrótszy czas. Przeciągnij B, żeby przesunąć metę, albo narysuj własny tor na obrazie. Każda kula startuje ze spoczynku w A i zsuwa się bez tarcia. Cykloida to najszybsza droga w dół, nawet tam, gdzie schodzi poniżej mety.
Jak to działa
- Otwórz tę stronę, a wyścig się zacznie. Pięć kul rusza razem z A. Znaczniki czasu pokazują, gdzie była każda kula co jedną dziesiątą sekundy.
- Przeciągnij B, żeby przesunąć metę, albo narysuj własny tor na obrazie. Spróbuj pokonać cykloidę.
- W polu Tryb wybierz opcję Misa cykloidalna: kule puszczone z różnych wysokości docierają na dno razem. Potem zapisz PNG.
Najpierw stromo, potem szybko
Kula, która na początku spada stromo, wcześnie nabiera prędkości i zachowuje ją przez resztę drogi. Kula na prostej rampie pokonuje najkrótszą drogę, ale prędkości nabiera powoli. Najlepszy tor równoważy jedno i drugie: stromy na początku, później łagodniejszy. Tą równowagą jest cykloida.
Krzywa toczącego się koła
Potocz koło wzdłuż linii i śledź jeden punkt na jego obwodzie: zakreśla on cykloidę. Odwrócona do góry nogami, od A do B, jest ona brachistochroną. Gdy B leży daleko z boku i niezbyt nisko, cykloida schodzi nawet poniżej B i wspina się z powrotem, a mimo to wygrywa.
Ten sam czas z każdej wysokości
W misie w kształcie cykloidy kula puszczona z dowolnej wysokości dociera na dno w tym samym czasie: π√(a/g), gdzie a to promień toczącego się koła. To jest tautochrona. W okrągłej misie kule puszczone wyżej docierają później.
Często zadawane pytania
Dlaczego linia prosta nie jest najszybsza?
To najkrótsza droga, ale nie najszybsza. Na łagodnym spadku kula nabiera prędkości powoli. Tor, który najpierw opada stromo, rozpędza kulę już na początku, a ta prędkość opłaca się na dłuższej drodze.
Kto rozwiązał problem brachistochrony?
Johann Bernoulli postawił go w 1696 roku. Rozwiązania przedstawili sam Johann, jego brat Jakob, Leibniz, Newton i inni. Rozwiązanie Newtona opublikowano bez jego nazwiska, a Bernoulli podobno rozpoznał go po nim, jak lwa po pazurze.
Czy masa i grawitacja zmieniają zwycięzcę?
Nie. Masa kuli nie ma tu znaczenia, a silniejsza grawitacja przyspiesza każdą kulę tyle samo razy. Kolejność w wyścigu pozostaje taka sama, także na Księżycu.
Czy mój własny tor może wygrać?
Tylko jeśli bardzo zbliży się do cykloidy. Tor, który wznosi się ponad A, nigdy nie doprowadzi kuli do B, bo bez tarcia kula nigdy nie wzniesie się wyżej niż punkt, z którego wystartowała.
Czy coś jest wysyłane?
Nie. Wyścig jest rysowany na płótnie w przeglądarce. Przycisk Zapisz pobiera PNG. Edytuj otwiera ten obraz w edytorze PictorX.
Powiązane narzędzia
Brachistochrona
Czym jest brachistochrona: dlaczego cykloida wygrywa z linią prostą, jak rozwiązano wyzwanie Bernoulliego z 1696 roku i dlaczego misa cykloidalna jest też tautochroną.
Prawo Snelliusa i załamanie światła
Zobacz, dlaczego światło się załamuje. Urządź wyścig ratownika przez piasek i morze, skieruj laser z powietrza do wody, szkła lub diamentu i patrz, jak światło przechodzące przez cienkie warstwy kreśli brachistochronę.
Fala wahadeł
Piętnaście wahadeł, każde trochę krótsze od poprzedniego. Puść je razem i patrz, jak tworzą fale, dzielą się na rzędy i znów wahają się w fazie.
Kołyska Newtona
Unieś stalową kulę i pozwól jej spaść. Stuk posyła ten ruch na drugą stronę. Patrz, jak wysokość zamienia się w ruch.
Deska Galtona
Puść kule przez rzędy kołków i patrz, jak krzywa dzwonowa wypełnia przegródki. Zmień liczbę rzędów, przechył i liczbę kul, a potem porównaj średnią i rozrzut z teorią.
Spirograf
Rysuj hipotrochoidy i epitrochoidy w przeglądarce. Ustaw R, r i offset pióra, animuj, losuj i zapisz PNG.
Igła Buffona
Upuszczaj igły na podłogę w linie w przeglądarce. Policz przecięcia i zobacz, jak eksperyment Buffona z 1777 roku szacuje π.
Wahadło podwójne
Symuluj klasyczne wahadło podwójne w przeglądarce. Maluj chaotyczne ślady czubka, ścieżki długiej ekspozycji lub zniekształć miękkie pole — potem zapisz PNG.
Chcesz wypróbować?
Otwórz PictorX w swojej przeglądarce — do uruchomienia nie jest wymagana żadna instalacja ani karta kredytowa.
Przejdź do edytora