Sobre la espiral de Ulam | Distribución de los primos y polinomio de Euler

Un garabato de 1963

Stanisław Ulam encontró la espiral en 1963, durante lo que Martin Gardner llamó después una ponencia larga y muy aburrida en un congreso científico. Ulam escribió los enteros positivos en espiral sobre una cuadrícula y rodeó los primos con un círculo. Los círculos se alineaban. Él, Myron Stein y Mark Wells ampliaron luego la imagen hasta unos 100 000 puntos en el ordenador MANIAC II de Los Álamos. La columna Mathematical Games de Gardner en Scientific American de marzo de 1964 llevó la espiral a la portada. Las líneas no demuestran cómo se espacian los primos. Son una forma de ver un hecho que la teoría de números ya conocía de otra manera: algunos polinomios cuadráticos producen primos mucho más a menudo que otros.

Cómo se llena el cuadrado

La espiral empieza con 1 en el centro. El siguiente número está un paso a la derecha, y luego el camino gira a la izquierda, en sentido antihorario, con cada tramo recto un paso más largo que el anterior: un paso, un paso, dos, dos, tres, tres, y así sucesivamente. El primer cuadrado completo se lee, fila por fila: 17 16 15 14 13, luego 18 5 4 3 12, luego 19 6 1 2 11, luego 20 7 8 9 10, luego 21 22 23 24 25. Puedes empezar en un número distinto de 1. Aparecen líneas del mismo tipo. Empezar en 41 es el caso famoso.

Las líneas son polinomios cuadráticos

Cada diagonal, y cada rayo horizontal o vertical, es exactamente el conjunto de valores de un polinomio cuadrático f(n) = 4n² + bn + c. Cuando b es par, la línea es diagonal y los valores son todos impares o todos pares, según c. Todo primo salvo el 2 es impar, así que los primos están en una de cada dos diagonales. Algunos de esos polinomios se factorizan. 4n² + 8n + 3 = (2n + 1)(2n + 3), así que esa diagonal casi no tiene primos. Otros siguen siendo primos con sorprendente frecuencia. La diferencia no es magia: depende de cuán a menudo el polinomio está obligado a ser divisible por un primo pequeño. La conjetura F de Hardy y Littlewood, caso particular de la conjetura de Bateman-Horn, predice la densidad a lo largo de ax² + bx + c. La densidad depende del discriminante b² − 4ac. No se ha demostrado que ningún polinomio cuadrático produzca infinitos primos. Es uno de los problemas de Landau y sigue abierto.

Los cuarenta primos de Euler

El polinomio de Euler n² + n + 41 es primo para todo n de 0 a 39. Son cuarenta primos. Para n = 40 da 1681 = 41², y la racha termina. En la espiral esos valores son el único polinomio 4n² − 2n + 41, que es el polinomio de Euler en los enteros pares, junto con la dirección opuesta 4n² + 2n + 41. Se convierten en una sola diagonal recta cuando la celda central es 41 en lugar de 1. La racha ininterrumpida son los cuarenta valores desde 1523 (diecinueve pasos al suroeste del centro) hasta 1601 (veinte pasos al noreste), pasando por 41. Las celdas siguientes, 1681 y 1763, son compuestas, así que la línea dorada se rompe. La constante de Hardy y Littlewood para 4n² − 2n + 41 es de aproximadamente 6,6: la conjetura dice que estos valores son primos casi siete veces más a menudo que números aleatorios del mismo tamaño.

Para qué sirve la imagen

La espiral no decide el teorema de los números primos, y una diagonal larga no es una demostración. Es un mapa. Los polinomios ricos y pobres en primos se ven de un vistazo, y por eso Ulam, y antes que él Laurence Klauber en 1932, se tomaron la molestia de dibujarlos. Klauber usó un triángulo cuyas filas van de un cuadrado al siguiente. Más tarde Robert Sacks colocó los enteros en una espiral de Arquímedes, de modo que en cada vuelta cae un cuadrado; allí el polinomio de Euler es una curva en lugar de dos rayos diagonales. En la espiral cuadrada lo que hay que mirar es la fórmula de la línea bajo tu dedo, cuántos primos contiene y cómo se compara con 1 / ln n, la probabilidad de que un número aleatorio de ese tamaño sea primo.

Explórala en PictorX

Abre la espiral de Ulam y obtienes la imagen clásica: un cuadrado de 101×101, primos en dorado, compuestos ocultos. Arrastra para moverte y desplaza para hacer zoom. El favorito «Cuadrícula 5×5» escribe cada número, para que compruebes el recorrido con el cuadrado de arriba. «Los 40 de Euler» empieza la espiral en 41 y traza 4n² − 2n + 41. «Línea más rica» busca en ambas direcciones diagonales la que tiene más primos. Haz clic en cualquier celda para ver su diagonal, con el polinomio, la racha de primos más larga y la comparación con un número aleatorio de ese tamaño. «Resto mód. 4» y «Último dígito» recolorean los primos. Guarda un PNG o abre el lienzo en el editor de PictorX. Combínala con la conjetura de Collatz o la hormiga de Langton para ver más reglas sencillas con una imagen sorprendente.

Preguntas frecuentes

¿Quién descubrió la espiral de Ulam?

Stanisław Ulam, en 1963, mientras garabateaba durante una reunión científica. Martin Gardner la popularizó en Scientific American en marzo de 1964. Laurence Klauber había dibujado en 1932 una disposición triangular de primos relacionada.

¿Por qué se alinean los primos?

Una diagonal, fila o columna de la espiral cuadrada es un polinomio cuadrático 4n² + bn + c. Algunos de esos polinomios son divisibles por un primo pequeño con inusual frecuencia, y otros casi nunca. Los primos son lo que queda.

¿Qué tiene de especial n² + n + 41?

Es primo para n = 0, 1, 2, …, 39, cuarenta primos, y compuesto en n = 40 porque el valor es 41². En la espiral, empieza en 41 y esa racha es una sola diagonal: de 1523 a 1601 pasando por 41, los valores de 4n² − 2n + 41.

¿Demuestra la espiral cómo se distribuyen los primos?

No. Muestra la variación que la conjetura F de Hardy y Littlewood intenta predecir. No se ha demostrado que ningún polinomio cuadrático genere infinitos primos.