울람 나선 소개 | 소수의 분포와 오일러 다항식

1963년의 낙서

스타니스와프 울람은 1963년, 마틴 가드너가 훗날 길고 몹시 지루한 발표라고 부른 학회 강연을 듣던 중 이 나선을 발견했습니다. 울람은 양의 정수를 정사각 격자에 나선 모양으로 적고 소수에 동그라미를 쳤습니다. 동그라미들이 줄을 지었습니다. 그 뒤 그는 마이런 스타인, 마크 웰스와 함께 로스앨러모스의 MANIAC II 컴퓨터로 그림을 약 100,000개 점까지 넓혔습니다. 1964년 3월 Scientific American에 실린 가드너의 칼럼 ‘수학 게임’은 이 나선을 표지에 실었습니다. 이 선들은 소수의 간격을 증명하지 않습니다. 정수론이 이미 다른 형태로 알고 있던 사실을 눈으로 보는 방법입니다. 어떤 이차 다항식은 다른 이차 다항식보다 훨씬 자주 소수를 만든다는 사실입니다.

정사각형을 채우는 방법

나선은 가운데의 1에서 시작합니다. 다음 수는 오른쪽으로 한 걸음 옆에 있고, 그다음 경로는 왼쪽, 즉 반시계 방향으로 돌며 곧은 구간이 앞보다 한 걸음씩 길어집니다. 한 걸음, 한 걸음, 두 걸음, 두 걸음, 세 걸음, 세 걸음, 이런 식입니다. 첫 번째 완전한 정사각형을 줄마다 읽으면 17 16 15 14 13, 다음 18 5 4 3 12, 다음 19 6 1 2 11, 다음 20 7 8 9 10, 다음 21 22 23 24 25입니다. 1이 아닌 수에서 시작해도 같은 종류의 선이 나타납니다. 41에서 시작하는 것이 유명한 예입니다.

선은 이차 다항식이다

모든 대각선, 그리고 모든 가로나 세로 반직선은 정확히 이차식 f(n) = 4n² + bn + c의 값의 집합입니다. b가 짝수이면 선은 대각선이고, 값은 c에 따라 모두 홀수이거나 모두 짝수입니다. 2를 제외한 모든 소수는 홀수이므로, 소수는 대각선 하나 걸러 하나씩 놓입니다. 이 이차식 중 일부는 인수분해됩니다. 4n² + 8n + 3 = (2n + 1)(2n + 3)이므로 그 대각선에는 소수가 거의 없습니다. 다른 식들은 놀라울 만큼 자주 소수가 됩니다. 그 차이는 마법이 아닙니다. 다항식이 작은 소수로 나누어떨어질 수밖에 없는 빈도에 달려 있습니다. 베이트먼-혼 추측의 특수한 경우인 하디와 리틀우드의 추측 F는 ax² + bx + c를 따른 밀도를 예측합니다. 그 밀도는 판별식 b² − 4ac에 따라 달라집니다. 무한히 많은 소수를 만든다고 증명된 이차식은 아직 없습니다. 이것은 란다우의 문제 중 하나이며 여전히 풀리지 않았습니다.

오일러의 소수 마흔 개

오일러의 다항식 n² + n + 41은 0부터 39까지 모든 n에서 소수입니다. 소수 마흔 개입니다. n = 40에서는 1,681 = 41²이 되어 행렬이 멈춥니다. 나선 위에서 이 값들은 하나의 이차식 4n² − 2n + 41(짝수에서의 오일러 다항식)과 반대 방향의 4n² + 2n + 41입니다. 가운데 칸이 1이 아니라 41이면 이들은 하나의 곧은 대각선이 됩니다. 끊기지 않는 행렬은 1,523(중심에서 남서쪽으로 열아홉 걸음)에서 41을 지나 1,601(북동쪽으로 스무 걸음)까지의 값 마흔 개입니다. 다음 칸인 1,681과 1,763은 합성수여서 금빛 선이 끊깁니다. 4n² − 2n + 41에 대한 하디와 리틀우드의 상수는 약 6.6입니다. 즉 추측에 따르면 이 값들은 같은 크기의 무작위 수보다 거의 일곱 배 자주 소수가 됩니다.

이 그림은 무엇에 쓰는가

나선은 소수 정리를 판가름하지 않으며, 긴 대각선은 증명이 아닙니다. 그것은 지도입니다. 소수가 많은 이차식과 적은 이차식이 한눈에 보이고, 그래서 울람이, 그리고 그보다 앞서 1932년에 로런스 클로버가 굳이 그것을 그렸습니다. 클로버는 각 행이 한 제곱수에서 다음 제곱수까지 이어지는 삼각형을 사용했습니다. 나중에 로버트 색스는 정수를 아르키메데스 나선 위에 놓아 한 바퀴마다 제곱수가 하나씩 오게 했고, 거기서 오일러 다항식은 두 대각 반직선이 아니라 하나의 곡선이 됩니다. 사각 나선에서 볼 것은 손가락 아래 있는 선의 공식, 그 선에 있는 소수의 수, 그리고 그것이 같은 크기의 무작위 수가 소수일 확률인 1 / ln n과 비교해 어떤지입니다.

PictorX에서 살펴보기

울람 나선을 열면 고전적인 그림이 나타납니다. 101×101 정사각형, 금색 소수, 숨겨진 합성수입니다. 드래그로 이동하고 스크롤로 확대합니다. 즐겨찾기 ‘5×5 격자’는 모든 수를 적어 주므로 위의 정사각형과 경로를 대조할 수 있습니다. ‘오일러의 40’은 나선을 41에서 시작해 4n² − 2n + 41을 그립니다. ‘소수가 가장 많은 선’은 두 대각 방향에서 소수가 가장 많은 선을 찾습니다. 아무 칸이나 클릭하면 그 대각선이 다항식, 가장 긴 연속 소수, 같은 크기의 무작위 수와의 비교와 함께 표시됩니다. ‘mod 4 나머지’와 ‘끝자리’는 소수의 색을 바꿉니다. PNG로 저장하거나 PictorX 편집기에서 캔버스를 여세요. 콜라츠 추측이나 랭턴의 개미와 함께 보면 단순한 규칙이 놀라운 그림을 만드는 예를 더 볼 수 있습니다.