O spirali Ulama | Rozkład liczb pierwszych i wielomian Eulera

Bazgroł z 1963 roku

Stanisław Ulam odkrył spiralę w 1963 roku podczas – jak to później ujął Martin Gardner – długiego i bardzo nudnego referatu na konferencji naukowej. Ulam zapisał dodatnie liczby całkowite spiralnie na kwadratowej siatce i zakreślił liczby pierwsze. Kółka ułożyły się w linie. Wraz z Myronem Steinem i Markiem Wellsem rozszerzył potem obraz do około 100 000 punktów na komputerze MANIAC II w Los Alamos. Rubryka Gardnera Mathematical Games w Scientific American z marca 1964 roku umieściła spiralę na okładce. Linie nie są dowodem na to, jak rozmieszczone są liczby pierwsze. Pozwalają zobaczyć fakt, który teoria liczb znała już w innej postaci: niektóre wielomiany kwadratowe dają liczby pierwsze znacznie częściej niż inne.

Jak wypełnia się kwadrat

Spirala zaczyna się od 1 w środku. Następna liczba stoi krok w prawo, a potem ścieżka skręca w lewo, przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, przy czym każdy prosty odcinek jest o krok dłuższy od poprzedniego: jeden krok, jeden krok, dwa, dwa, trzy, trzy i tak dalej. Pierwszy pełny kwadrat czyta się wiersz po wierszu: 17 16 15 14 13, potem 18 5 4 3 12, potem 19 6 1 2 11, potem 20 7 8 9 10, potem 21 22 23 24 25. Można zacząć od liczby innej niż 1. Pojawiają się linie tego samego rodzaju. Start od 41 to słynny przypadek.

Linie to wielomiany kwadratowe

Każda przekątna i każdy poziomy lub pionowy promień to dokładnie zbiór wartości wielomianu kwadratowego f(n) = 4n² + bn + c. Gdy b jest parzyste, linia jest ukośna, a wartości są wszystkie nieparzyste albo wszystkie parzyste, zależnie od c. Każda liczba pierwsza poza 2 jest nieparzysta, więc liczby pierwsze leżą na co drugiej przekątnej. Niektóre z tych wielomianów się rozkładają. 4n² + 8n + 3 = (2n + 1)(2n + 3), więc ta przekątna jest prawie pozbawiona liczb pierwszych. Inne dają liczby pierwsze zaskakująco często. Różnica to nie magia. Chodzi o to, jak często wielomian musi być podzielny przez małą liczbę pierwszą. Hipoteza F Hardy’ego i Littlewooda, szczególny przypadek hipotezy Batemana-Horna, przewiduje gęstość wzdłuż ax² + bx + c. Gęstość zależy od wyróżnika b² − 4ac. Dla żadnego wielomianu kwadratowego nie udowodniono, że daje nieskończenie wiele liczb pierwszych. To jeden z problemów Landaua i nadal pozostaje otwarty.

Czterdzieści liczb pierwszych Eulera

Wielomian Eulera n² + n + 41 jest liczbą pierwszą dla każdego n od 0 do 39. To czterdzieści liczb pierwszych. Dla n = 40 daje 1681 = 41² i ciąg się kończy. Na spirali te wartości to jeden wielomian 4n² − 2n + 41, czyli wielomian Eulera dla liczb parzystych, razem z przeciwnym kierunkiem 4n² + 2n + 41. Stają się jedną prostą przekątną, gdy komórka w środku to 41 zamiast 1. Nieprzerwany ciąg to czterdzieści wartości od 1523 (dziewiętnaście kroków na południowy zachód od środka) przez 41 do 1601 (dwadzieścia kroków na północny wschód). Następne komórki, 1681 i 1763, są złożone, więc złota linia się urywa. Stała Hardy’ego i Littlewooda dla 4n² − 2n + 41 wynosi około 6,6: hipoteza mówi, że te wartości są pierwsze niemal siedem razy częściej niż losowe liczby tej samej wielkości.

Do czego służy ten obraz

Spirala nie rozstrzyga twierdzenia o liczbach pierwszych, a długa przekątna nie jest dowodem. To mapa. Wielomiany bogate i ubogie w liczby pierwsze widać na pierwszy rzut oka i dlatego Ulam, a przed nim w 1932 roku Laurence Klauber, zadali sobie trud ich narysowania. Klauber użył trójkąta, którego wiersze biegną od jednego kwadratu do następnego. Robert Sacks umieścił później liczby całkowite na spirali Archimedesa, tak by na każdy obrót przypadał jeden kwadrat; tam wielomian Eulera jest krzywą, a nie dwoma ukośnymi promieniami. W spirali kwadratowej warto patrzeć na wzór linii pod palcem, na to, ile zawiera liczb pierwszych, i jak to wypada w porównaniu z 1 / ln n, czyli prawdopodobieństwem, że losowa liczba tej wielkości jest pierwsza.

Odkryj ją w PictorX

Otwórz spiralę Ulama, a zobaczysz klasyczny obraz: kwadrat 101×101, liczby pierwsze na złoto, złożone ukryte. Przeciągnij, aby przesunąć, i przewiń, aby powiększyć. Ulubiony układ „Siatka 5×5” wypisuje każdą liczbę, więc możesz porównać ścieżkę z kwadratem powyżej. „40 Eulera” zaczyna spiralę od 41 i rysuje 4n² − 2n + 41. „Najbogatsza linia” szuka w obu kierunkach ukośnych linii z największą liczbą liczb pierwszych. Kliknij dowolną komórkę, aby zobaczyć jej przekątną wraz z wielomianem, najdłuższym ciągiem liczb pierwszych i porównaniem z losową liczbą tej wielkości. „Reszta mod 4” i „Ostatnia cyfra” zmieniają kolory liczb pierwszych. Zapisz PNG lub otwórz płótno w edytorze PictorX. Połącz ją z hipotezą Collatza lub mrówką Langtona, by poznać więcej prostych reguł z zaskakującym obrazem.

Często zadawane pytania

Kto odkrył spiralę Ulama?

Stanisław Ulam w 1963 roku, gdy bazgrał podczas naukowego spotkania. Martin Gardner spopularyzował ją w Scientific American w marcu 1964 roku. Laurence Klauber narysował w 1932 roku pokrewny trójkątny układ liczb pierwszych.

Dlaczego liczby pierwsze układają się w linie?

Przekątna, wiersz lub kolumna spirali kwadratowej to wielomian kwadratowy 4n² + bn + c. Niektóre z tych wielomianów są wyjątkowo często podzielne przez małą liczbę pierwszą, a niektóre prawie nigdy. Liczby pierwsze to to, co zostaje.

Co jest szczególnego w n² + n + 41?

Daje liczby pierwsze dla n = 0, 1, 2, …, 39, czyli czterdzieści, a dla n = 40 liczbę złożoną, bo wartość wynosi 41². Na spirali zaczynającej się od 41 ten ciąg to jedna przekątna: od 1523 przez 41 do 1601, czyli wartości 4n² − 2n + 41.

Czy spirala dowodzi, jak rozkładają się liczby pierwsze?

Nie. Pokazuje zmienność, którą próbuje przewidzieć hipoteza F Hardy’ego i Littlewooda. Dla żadnego wielomianu kwadratowego nie udowodniono, że generuje nieskończenie wiele liczb pierwszych.