उलम सर्पिल के बारे में | अभाज्य वितरण और यूलर का बहुपद

1963 की एक आड़ी-तिरछी रेखा

स्तानिस्वाफ़ उलम ने यह सर्पिल 1963 में खोजा, एक वैज्ञानिक सम्मेलन में उस प्रस्तुति के दौरान जिसे मार्टिन गार्डनर ने बाद में लंबी और बहुत उबाऊ कहा। उलम ने धनात्मक पूर्णांकों को वर्गाकार ग्रिड पर सर्पिल में लिखा और अभाज्य संख्याओं पर गोला बनाया। गोले एक कतार में आ गए। फिर उन्होंने, मायरन स्टाइन और मार्क वेल्स ने लॉस एलामोस के MANIAC II कंप्यूटर पर चित्र को लगभग 1,00,000 बिंदुओं तक बढ़ाया। साइंटिफ़िक अमेरिकन में मार्च 1964 के गार्डनर के मैथमैटिकल गेम्स कॉलम ने सर्पिल को आवरण पर छापा। ये रेखाएँ इस बात का प्रमाण नहीं हैं कि अभाज्य संख्याएँ किस दूरी पर हैं। ये उस तथ्य को देखने का एक तरीका हैं जिसे संख्या सिद्धांत किसी दूसरे रूप में पहले से जानता था: कुछ द्विघात बहुपद दूसरों की तुलना में कहीं अधिक बार अभाज्य संख्याएँ देते हैं।

वर्ग कैसे भरा जाता है

सर्पिल बीच में 1 से शुरू होता है। अगली संख्या एक कदम दाईं ओर है, फिर रास्ता बाईं ओर, यानी वामावर्त, मुड़ता है, और हर सीधा हिस्सा पिछले से एक कदम लंबा होता है: एक कदम, एक कदम, दो, दो, तीन, तीन, और इसी तरह आगे। पहला पूरा वर्ग पंक्ति-दर-पंक्ति ऐसे पढ़ा जाता है: 17 16 15 14 13, फिर 18 5 4 3 12, फिर 19 6 1 2 11, फिर 20 7 8 9 10, फिर 21 22 23 24 25। आप 1 के अलावा किसी और संख्या से भी शुरू कर सकते हैं। वैसी ही रेखाएँ दिखती हैं। 41 से शुरुआत प्रसिद्ध उदाहरण है।

रेखाएँ द्विघात बहुपद हैं

हर विकर्ण, और हर क्षैतिज या ऊर्ध्वाधर किरण, ठीक-ठीक किसी द्विघात f(n) = 4n² + bn + c के मानों का समुच्चय है। जब b सम हो तो रेखा विकर्ण होती है, और c के अनुसार सारे मान विषम या सारे सम होते हैं। 2 को छोड़कर हर अभाज्य विषम है, इसलिए अभाज्य संख्याएँ एक छोड़कर एक विकर्ण पर होती हैं। इनमें से कुछ द्विघातों के गुणनखंड हो जाते हैं। 4n² + 8n + 3 = (2n + 1)(2n + 3), इसलिए उस विकर्ण पर लगभग कोई अभाज्य नहीं है। दूसरे आश्चर्यजनक रूप से अक्सर अभाज्य बने रहते हैं। यह अंतर कोई जादू नहीं है। यह इस पर निर्भर है कि बहुपद कितनी बार किसी छोटी अभाज्य संख्या से विभाज्य होने को मजबूर है। हार्डी और लिटिलवुड का अनुमान F, जो बेटमैन–हॉर्न अनुमान का एक विशेष रूप है, ax² + bx + c के साथ घनत्व का अनुमान लगाता है। यह घनत्व विविक्तकर b² − 4ac पर निर्भर करता है। किसी भी द्विघात के बारे में यह सिद्ध नहीं हुआ है कि वह अनंत अभाज्य संख्याएँ देता है। यह लैंडाउ की समस्याओं में से एक है, और अभी भी अनसुलझी है।

यूलर की चालीस अभाज्य संख्याएँ

यूलर का बहुपद n² + n + 41, 0 से 39 तक हर n के लिए अभाज्य है। यानी चालीस अभाज्य संख्याएँ। n = 40 पर यह 1,681 = 41² देता है, और शृंखला रुक जाती है। सर्पिल पर ये मान एक ही द्विघात 4n² − 2n + 41 हैं, जो सम पूर्णांकों पर यूलर का बहुपद है, साथ में विपरीत दिशा 4n² + 2n + 41। जब बीच का सेल 1 के बजाय 41 हो, तो ये एक सीधा विकर्ण बन जाते हैं। अटूट शृंखला 1,523 (केंद्र से उन्नीस कदम दक्षिण-पश्चिम) से 41 होते हुए 1,601 (बीस कदम उत्तर-पूर्व) तक के चालीस मान हैं। अगले सेल, 1,681 और 1,763, भाज्य हैं, इसलिए सुनहरी रेखा टूट जाती है। 4n² − 2n + 41 के लिए हार्डी और लिटिलवुड का स्थिरांक लगभग 6.6 है: अनुमान कहता है कि ये मान उतने ही बड़े यादृच्छिक अंकों की तुलना में लगभग सात गुना अधिक बार अभाज्य होते हैं।

यह चित्र किस काम का है

सर्पिल अभाज्य संख्या प्रमेय का निर्णय नहीं करता, और एक लंबा विकर्ण कोई प्रमाण नहीं है। यह एक नक्शा है। अभाज्यों से भरपूर और अभाज्यों में कम द्विघात एक नज़र में दिख जाते हैं, और इसीलिए उलाम ने, और उनसे पहले 1932 में लॉरेंस क्लॉबर ने, इन्हें बनाने की मेहनत की। क्लॉबर ने एक त्रिभुज का उपयोग किया जिसकी पंक्तियाँ एक वर्ग संख्या से अगली तक जाती हैं। बाद में रॉबर्ट सैक्स ने पूर्णांकों को आर्किमिडीज़ सर्पिल पर रखा ताकि हर चक्कर पर एक वर्ग संख्या आए; वहाँ यूलर का बहुपद दो विकर्ण किरणों के बजाय एक वक्र है। वर्गाकार सर्पिल में देखने की चीज़ है आपकी उँगली के नीचे की रेखा का सूत्र, उसमें कितनी अभाज्य संख्याएँ हैं, और उसकी तुलना 1 / ln n से कैसी है, यानी उतने बड़े किसी यादृच्छिक अंक के अभाज्य होने की संभावना।

PictorX में खोजें

उलाम सर्पिल खोलें और आपको क्लासिक चित्र मिलेगा: 101×101 का वर्ग, सुनहरे रंग में अभाज्य, छिपी हुई भाज्य संख्याएँ। खिसकाने के लिए ड्रैग करें और ज़ूम के लिए स्क्रॉल करें। पसंदीदा “5×5 ग्रिड” हर संख्या लिखता है, ताकि आप पथ को ऊपर के वर्ग से मिला सकें। “यूलर के 40” सर्पिल को 41 से शुरू करता है और 4n² − 2n + 41 बनाता है। “सबसे समृद्ध रेखा” दोनों विकर्ण दिशाओं में सबसे अधिक अभाज्यों वाली रेखा खोजता है। किसी भी सेल पर क्लिक करें और उसका विकर्ण रीडआउट में देखें, बहुपद, सबसे लंबी अभाज्य शृंखला और उतने बड़े यादृच्छिक अंक से तुलना के साथ। “mod 4 शेषफल” और “अंतिम अंक” अभाज्यों को फिर से रंगते हैं। PNG सहेजें या कैनवास को PictorX एडिटर में खोलें। चौंकाने वाले चित्र देने वाले और सरल नियमों के लिए इसे कोलाट्ज़ अनुमान या लैंगटन की चींटी के साथ आज़माएँ।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

उलाम सर्पिल की खोज किसने की?

स्टानिस्लाव उलाम ने, 1963 में, एक वैज्ञानिक बैठक के दौरान यूँ ही आकृतियाँ बनाते हुए। मार्टिन गार्डनर ने मार्च 1964 में Scientific American में इसे लोकप्रिय बनाया। लॉरेंस क्लॉबर 1932 में अभाज्य संख्याओं की एक संबंधित त्रिभुजाकार व्यवस्था बना चुके थे।

अभाज्य संख्याएँ रेखाओं में क्यों आती हैं?

वर्गाकार सर्पिल का कोई विकर्ण, पंक्ति या स्तंभ एक द्विघात बहुपद 4n² + bn + c है। इनमें से कुछ बहुपद असामान्य रूप से अक्सर किसी छोटी अभाज्य संख्या से विभाज्य होते हैं, और कुछ लगभग कभी नहीं। अभाज्य संख्याएँ वही हैं जो बचती हैं।

n² + n + 41 में क्या खास है?

यह n = 0, 1, 2, …, 39 के लिए अभाज्य है, यानी चालीस अभाज्य, और n = 40 पर भाज्य है क्योंकि मान 41² है। सर्पिल को 41 से शुरू करें तो यह शृंखला एक ही विकर्ण है: 1,523 से 41 होते हुए 1,601 तक, 4n² − 2n + 41 के मान।

क्या सर्पिल यह सिद्ध करता है कि अभाज्य कैसे वितरित हैं?

नहीं। यह वह विविधता दिखाता है जिसका अनुमान हार्डी और लिटिलवुड का अनुमान F लगाने की कोशिश करता है। किसी भी द्विघात बहुपद के बारे में यह सिद्ध नहीं हुआ है कि वह अनंत अभाज्य संख्याएँ उत्पन्न करता है।