Despre spirala lui Ulam | Distribuția numerelor prime și polinomul lui Euler

O mâzgăleală din 1963

Stanisław Ulam a găsit spirala în 1963, în timpul a ceea ce Martin Gardner avea să numească o comunicare lungă și foarte plictisitoare la o reuniune științifică. Ulam a scris numerele întregi pozitive în spirală pe o grilă pătrată și a încercuit numerele prime. Cercurile s-au aliniat. Împreună cu Myron Stein și Mark Wells a extins apoi imaginea la circa 100.000 de puncte pe calculatorul MANIAC II de la Los Alamos. Rubrica Mathematical Games a lui Gardner din Scientific American, martie 1964, a pus spirala pe copertă. Liniile nu sunt o demonstrație a felului în care sunt distanțate numerele prime. Sunt un mod de a vedea un fapt pe care teoria numerelor îl știa deja sub altă formă: unele polinoame de gradul al doilea produc numere prime mult mai des decât altele.

Cum se umple pătratul

Spirala începe cu 1 în centru. Numărul următor este cu un pas la dreapta, apoi drumul cotește la stânga, în sens antiorar, fiecare segment drept fiind cu un pas mai lung decât precedentul: un pas, un pas, doi, doi, trei, trei și așa mai departe. Primul pătrat complet se citește, rând cu rând: 17 16 15 14 13, apoi 18 5 4 3 12, apoi 19 6 1 2 11, apoi 20 7 8 9 10, apoi 21 22 23 24 25. Poți porni de la alt număr decât 1. Apar linii de același fel. Pornirea de la 41 este cazul celebru.

Liniile sunt polinoame de gradul al doilea

Fiecare diagonală și fiecare rază orizontală sau verticală este exact mulțimea valorilor unui polinom de gradul al doilea f(n) = 4n² + bn + c. Când b este par, linia este diagonală, iar valorile sunt toate impare sau toate pare, în funcție de c. Orice număr prim în afară de 2 este impar, așa că numerele prime stau pe o diagonală din două. Unele dintre aceste polinoame se descompun în factori. 4n² + 8n + 3 = (2n + 1)(2n + 3), deci acea diagonală este aproape lipsită de numere prime. Altele rămân prime surprinzător de des. Diferența nu e magie. Ține de cât de des polinomul este obligat să fie divizibil cu un număr prim mic. Conjectura F a lui Hardy și Littlewood, caz particular al conjecturii Bateman-Horn, prezice densitatea de-a lungul lui ax² + bx + c. Densitatea depinde de discriminantul b² − 4ac. Nu s-a demonstrat pentru niciun polinom de gradul al doilea că produce o infinitate de numere prime. Aceasta este una dintre problemele lui Landau și rămâne deschisă.

Cele patruzeci de numere prime ale lui Euler

Polinomul lui Euler n² + n + 41 este prim pentru orice n de la 0 la 39. Sunt patruzeci de numere prime. La n = 40 dă 1.681 = 41², iar șirul se oprește. Pe spirală, aceste valori sunt unicul polinom 4n² − 2n + 41, adică polinomul lui Euler pe numerele pare, împreună cu direcția opusă 4n² + 2n + 41. Ele devin o singură diagonală dreaptă când celula din centru este 41 în loc de 1. Șirul neîntrerupt cuprinde cele patruzeci de valori de la 1.523 (nouăsprezece pași spre sud-vest de centru) prin 41 până la 1.601 (douăzeci de pași spre nord-est). Celulele următoare, 1.681 și 1.763, sunt compuse, așa că linia aurie se rupe. Constanta lui Hardy și Littlewood pentru 4n² − 2n + 41 este de circa 6,6: conjectura spune că aceste valori sunt prime de aproape șapte ori mai des decât numerele aleatoare de aceeași mărime.

La ce folosește imaginea

Spirala nu decide teorema numerelor prime, iar o diagonală lungă nu este o demonstrație. Este o hartă. Polinoamele bogate și sărace în numere prime se văd dintr-o privire, de aceea Ulam, și înaintea lui Laurence Klauber în 1932, s-au obosit să le deseneze. Klauber a folosit un triunghi ale cărui rânduri merg de la un pătrat perfect la următorul. Robert Sacks a pus mai târziu numerele întregi pe o spirală arhimedică, astfel încât pe fiecare tură cade un pătrat perfect; acolo polinomul lui Euler este o curbă, nu două raze diagonale. În spirala pătrată, de urmărit sunt formula liniei de sub degetul tău, câte numere prime conține și cum se compară cu 1 / ln n, șansa ca un număr aleatoriu de acea mărime să fie prim.

Explorează-o în PictorX

Deschide spirala lui Ulam și obții imaginea clasică: un pătrat de 101×101, numere prime aurii, numere compuse ascunse. Trage pentru a muta și derulează pentru zoom. Favoritul „Grilă 5×5” scrie fiecare număr, ca să poți verifica traseul cu pătratul de mai sus. „Cele 40 ale lui Euler” pornește spirala de la 41 și desenează 4n² − 2n + 41. „Linia cea mai bogată” caută în ambele direcții diagonale linia cu cele mai multe numere prime. Dă clic pe orice celulă pentru a-i vedea diagonala, cu polinomul, cel mai lung șir de numere prime și comparația cu un număr aleatoriu de aceeași mărime. „Rest mod 4” și „Ultima cifră” recolorează numerele prime. Salvează un PNG sau deschide pânza în editorul PictorX. Combin-o cu conjectura lui Collatz sau furnica lui Langton pentru mai multe reguli simple cu o imagine surprinzătoare.

Întrebări frecvente

Cine a descoperit spirala lui Ulam?

Stanisław Ulam, în 1963, în timp ce mâzgălea în timpul unei întâlniri științifice. Martin Gardner a popularizat-o în Scientific American în martie 1964. Laurence Klauber desenase în 1932 o dispunere triunghiulară înrudită a numerelor prime.

De ce se aliniază numerele prime?

O diagonală, un rând sau o coloană a spiralei pătrate este un polinom de gradul al doilea 4n² + bn + c. Unele dintre aceste polinoame sunt neobișnuit de des divizibile cu un număr prim mic, iar altele aproape niciodată. Numerele prime sunt ceea ce rămâne.

Ce are special n² + n + 41?

Este prim pentru n = 0, 1, 2, …, 39, patruzeci de numere prime, și compus la n = 40, deoarece valoarea este 41². Pe spirală, pornește de la 41 și acel șir este o singură diagonală: de la 1.523 prin 41 până la 1.601, valorile lui 4n² − 2n + 41.

Demonstrează spirala cum sunt distribuite numerele prime?

Nu. Arată variația pe care conjectura F a lui Hardy și Littlewood încearcă să o prezică. Nu s-a demonstrat pentru niciun polinom de gradul al doilea că generează o infinitate de numere prime.