La spirale di Ulam | Distribuzione dei primi e polinomio di Eulero

Uno scarabocchio del 1963

Stanisław Ulam scoprì la spirale nel 1963, durante quella che Martin Gardner chiamò poi una relazione lunga e molto noiosa a un convegno scientifico. Ulam scrisse gli interi positivi a spirale su una griglia quadrata e cerchiò i primi. I cerchi si allineavano. Con Myron Stein e Mark Wells estese poi l’immagine fino a circa 100.000 punti sul computer MANIAC II di Los Alamos. La rubrica Mathematical Games di Gardner, su Scientific American del marzo 1964, mise la spirale in copertina. Le linee non sono una dimostrazione di come siano distanziati i primi. Sono un modo per vedere un fatto che la teoria dei numeri conosceva già in un’altra forma: alcuni polinomi di secondo grado producono primi molto più spesso di altri.

Come si riempie il quadrato

La spirale parte da 1 al centro. Il numero successivo è un passo a destra, poi il percorso gira a sinistra, in senso antiorario, e ogni tratto rettilineo è più lungo di un passo rispetto al precedente: un passo, un passo, due, due, tre, tre e così via. Il primo quadrato completo si legge, riga per riga: 17 16 15 14 13, poi 18 5 4 3 12, poi 19 6 1 2 11, poi 20 7 8 9 10, poi 21 22 23 24 25. Puoi partire da un numero diverso da 1. Compare lo stesso tipo di linee. Partire da 41 è il caso famoso.

Le linee sono polinomi di secondo grado

Ogni diagonale, e ogni raggio orizzontale o verticale, è esattamente l’insieme dei valori di un polinomio di secondo grado f(n) = 4n² + bn + c. Quando b è pari la linea è diagonale e i valori sono tutti dispari o tutti pari, a seconda di c. Ogni primo tranne 2 è dispari, quindi i primi stanno su una diagonale ogni due. Alcuni di questi polinomi si fattorizzano. 4n² + 8n + 3 = (2n + 1)(2n + 3), perciò quella diagonale è quasi priva di primi. Altri restano primi sorprendentemente spesso. La differenza non è magia: dipende da quanto spesso il polinomio è costretto a essere divisibile per un piccolo primo. La congettura F di Hardy e Littlewood, caso particolare della congettura di Bateman-Horn, prevede la densità lungo ax² + bx + c. La densità dipende dal discriminante b² − 4ac. Per nessun polinomio di secondo grado è stato dimostrato che produca infiniti primi. È uno dei problemi di Landau ed è ancora aperto.

I quaranta primi di Eulero

Il polinomio di Eulero n² + n + 41 è primo per ogni n da 0 a 39. Sono quaranta primi. Per n = 40 dà 1.681 = 41², e la serie si ferma. Sulla spirale quei valori sono l’unico polinomio 4n² − 2n + 41, cioè il polinomio di Eulero calcolato sugli interi pari, insieme alla direzione opposta 4n² + 2n + 41. Diventano un’unica diagonale retta quando la cella centrale è 41 invece di 1. La serie ininterrotta è formata dai quaranta valori da 1.523 (diciannove passi a sud-ovest del centro) a 1.601 (venti passi a nord-est), passando per 41. Le celle successive, 1.681 e 1.763, sono composte, quindi la linea dorata si interrompe. La costante di Hardy e Littlewood per 4n² − 2n + 41 è circa 6,6: la congettura dice che questi valori sono primi quasi sette volte più spesso di numeri casuali della stessa grandezza.

A cosa serve l’immagine

La spirale non risolve il teorema dei numeri primi, e una lunga diagonale non è una dimostrazione. È una mappa. I polinomi ricchi o poveri di primi si vedono a colpo d’occhio, ed è per questo che Ulam, e prima di lui Laurence Klauber nel 1932, si presero la briga di disegnarli. Klauber usava un triangolo le cui righe vanno da un quadrato al successivo. Robert Sacks dispose poi gli interi su una spirale di Archimede, in modo che a ogni giro cada un quadrato; lì il polinomio di Eulero è una curva anziché due raggi diagonali. Nella spirale quadrata, ciò che conta è la formula della linea sotto il dito, quanti primi contiene e come si confronta con 1 / ln n, la probabilità che un numero casuale di quella grandezza sia primo.

Esplorala in PictorX

Apri la spirale di Ulam e ottieni l’immagine classica: un quadrato 101×101, primi in oro, composti nascosti. Trascina per spostarti e scorri per lo zoom. Il preferito «Griglia 5×5» scrive ogni numero, così puoi confrontare il percorso con il quadrato qui sopra. «I 40 di Eulero» fa partire la spirale da 41 e traccia 4n² − 2n + 41. «Linea più ricca» cerca in entrambe le direzioni diagonali quella con più primi. Fai clic su una cella per vederne la diagonale, con il polinomio, la serie di primi più lunga e il confronto con un numero casuale della stessa grandezza. «Resto mod 4» e «Ultima cifra» ricolorano i primi. Salva un PNG o apri la tela nell’editor PictorX. Abbinala alla congettura di Collatz o alla formica di Langton per altre regole semplici dall’immagine sorprendente.

Domande frequenti

Chi ha scoperto la spirale di Ulam?

Stanisław Ulam, nel 1963, mentre scarabocchiava durante un incontro scientifico. Martin Gardner la rese popolare su Scientific American nel marzo 1964. Laurence Klauber aveva disegnato nel 1932 una disposizione triangolare di primi affine.

Perché i primi si allineano?

Una diagonale, riga o colonna della spirale quadrata è un polinomio di secondo grado 4n² + bn + c. Alcuni di questi polinomi sono divisibili per un piccolo primo insolitamente spesso, altri quasi mai. I primi sono ciò che resta.

Che cosa ha di speciale n² + n + 41?

È primo per n = 0, 1, 2, …, 39, quaranta primi, e composto per n = 40 perché il valore è 41². Sulla spirale, partendo da 41, quella serie è un’unica diagonale: da 1.523 a 1.601 passando per 41, i valori di 4n² − 2n + 41.

La spirale dimostra come sono distribuiti i primi?

No. Mostra le variazioni che la congettura F di Hardy e Littlewood cerca di prevedere. Per nessun polinomio di secondo grado è stato dimostrato che generi infiniti primi.