Om Ulams spiral | Primtallenes fordeling og Eulers polynomium

En kruseduller fra 1963

Stanisław Ulam fandt spiralen i 1963 under det, Martin Gardner senere kaldte et langt og meget kedeligt foredrag på et videnskabeligt møde. Ulam skrev de positive heltal i en spiral på et kvadratisk gitter og satte ring om primtallene. Ringene lå på linje. Han, Myron Stein og Mark Wells udvidede derefter billedet til omkring 100.000 punkter på computeren MANIAC II i Los Alamos. Gardners klumme Mathematical Games i Scientific American fra marts 1964 satte spiralen på forsiden. Linjerne er ikke et bevis for, hvordan primtallene er fordelt. De er en måde at se en kendsgerning på, som talteorien allerede kendte i en anden form: nogle andengradspolynomier giver primtal langt oftere end andre.

Sådan fyldes kvadratet

Spiralen starter med 1 i midten. Det næste tal står ét skridt til højre, og så drejer stien til venstre, mod uret, og hvert lige stykke er ét skridt længere end det forrige: ét skridt, ét skridt, to, to, tre, tre og så videre. Det første hele kvadrat lyder, række for række: 17 16 15 14 13, så 18 5 4 3 12, så 19 6 1 2 11, så 20 7 8 9 10, så 21 22 23 24 25. Du kan starte ved et andet tal end 1. Den samme slags linjer viser sig. Start ved 41 er det berømte tilfælde.

Linjer er andengradspolynomier

Hver diagonal og hver vandret eller lodret stråle er præcis mængden af værdier af et andengradspolynomium f(n) = 4n² + bn + c. Når b er lige, er linjen diagonal, og værdierne er alle ulige eller alle lige afhængigt af c. Alle primtal undtagen 2 er ulige, så primtallene ligger på hver anden diagonal. Nogle af polynomierne kan faktoriseres. 4n² + 8n + 3 = (2n + 1)(2n + 3), så den diagonal er næsten tom for primtal. Andre giver overraskende ofte primtal. Forskellen er ikke magi. Det handler om, hvor ofte polynomiet er tvunget til at være deleligt med et lille primtal. Hardy og Littlewoods formodning F, et specialtilfælde af Bateman-Horn-formodningen, forudsiger tætheden langs ax² + bx + c. Tætheden afhænger af diskriminanten b² − 4ac. Det er ikke bevist for noget andengradspolynomium, at det giver uendeligt mange primtal. Det er et af Landaus problemer, og det er stadig åbent.

Eulers fyrre primtal

Eulers polynomium n² + n + 41 giver et primtal for hvert n fra 0 til 39. Det er fyrre primtal. Ved n = 40 giver det 1.681 = 41², og rækken stopper. På spiralen er de værdier det ene polynomium 4n² − 2n + 41, som er Eulers polynomium i de lige tal, sammen med den modsatte retning 4n² + 2n + 41. De bliver til én lige diagonal, når cellen i midten er 41 i stedet for 1. Den ubrudte række er de fyrre værdier fra 1.523 (nitten skridt sydvest for midten) over 41 til 1.601 (tyve skridt mod nordøst). De næste celler, 1.681 og 1.763, er sammensatte, så den gyldne linje brydes. Hardy og Littlewoods konstant for 4n² − 2n + 41 er cirka 6,6: formodningen siger, at disse værdier er primtal næsten syv gange så ofte som tilfældige tal af samme størrelse.

Hvad billedet kan bruges til

Spiralen afgør ikke primtalssætningen, og en lang diagonal er ikke et bevis. Den er et kort. Andengradspolynomier med mange eller få primtal ses med det samme, og derfor gad Ulam, og før ham Laurence Klauber i 1932, at tegne dem. Klauber brugte en trekant, hvis rækker går fra ét kvadrattal til det næste. Robert Sacks placerede senere heltallene på en arkimedisk spiral, så der falder ét kvadrattal på hver omgang; dér er Eulers polynomium en kurve i stedet for to diagonale stråler. I den kvadratiske spiral skal du se på formlen for linjen under din finger, hvor mange primtal den rummer, og hvordan det står sig mod 1 / ln n, sandsynligheden for at et tilfældigt tal af den størrelse er et primtal.

Udforsk den i PictorX

Åbn Ulam-spiralen, og du får det klassiske billede: et kvadrat på 101×101, primtal i guld, sammensatte tal skjult. Træk for at flytte og rul for at zoome. Favoritten “5×5-gitter” skriver hvert tal, så du kan tjekke stien mod kvadratet ovenfor. “Eulers 40” starter spiralen ved 41 og tegner 4n² − 2n + 41. “Rigeste linje” gennemsøger begge diagonalretninger efter den med flest primtal. Klik på en celle for at vise dens diagonal med polynomiet, den længste primtalsrække og sammenligningen med et tilfældigt tal af samme størrelse. “Rest mod 4” og “Sidste ciffer” farver primtallene om. Gem en PNG, eller åbn lærredet i PictorX-editoren. Kombinér den med Collatz-formodningen eller Langtons myre for flere enkle regler med et overraskende billede.

Ofte stillede spørgsmål

Hvem opdagede Ulam-spiralen?

Stanisław Ulam i 1963, mens han kruseduller under et videnskabeligt møde. Martin Gardner gjorde den kendt i Scientific American i marts 1964. Laurence Klauber havde i 1932 tegnet en beslægtet trekantet opstilling af primtal.

Hvorfor ligger primtallene på linje?

En diagonal, række eller søjle i den kvadratiske spiral er et andengradspolynomium 4n² + bn + c. Nogle af polynomierne er usædvanligt ofte delelige med et lille primtal, og nogle er det næsten aldrig. Primtallene er det, der bliver tilbage.

Hvad er særligt ved n² + n + 41?

Det er et primtal for n = 0, 1, 2, …, 39, fyrre primtal, og sammensat ved n = 40, fordi værdien er 41². Start spiralen ved 41, så er rækken én diagonal: 1.523 over 41 til 1.601, værdierne af 4n² − 2n + 41.

Beviser spiralen, hvordan primtallene er fordelt?

Nej. Den viser den variation, som Hardy og Littlewoods formodning F forsøger at forudsige. Det er ikke bevist for noget andengradspolynomium, at det frembringer uendeligt mange primtal.