Ulam sarmalı hakkında | Asalların dağılımı ve Euler polinomu

1963’ten bir karalama

Stanisław Ulam sarmalı 1963’te, Martin Gardner’ın daha sonra bir bilimsel toplantıdaki uzun ve çok sıkıcı bir bildiri olarak andığı sunum sırasında buldu. Ulam pozitif tam sayıları kare bir ızgaraya sarmal biçiminde yazdı ve asalları daire içine aldı. Daireler sıraya dizildi. Ardından Myron Stein ve Mark Wells ile birlikte resmi Los Alamos’taki MANIAC II bilgisayarında yaklaşık 100.000 noktaya kadar genişletti. Gardner’ın Scientific American’daki Mart 1964 tarihli Mathematical Games köşesi sarmalı kapağa taşıdı. Çizgiler asalların nasıl aralandığının kanıtı değildir. Sayılar kuramının başka bir biçimde zaten bildiği bir gerçeği görmenin yoludur: bazı ikinci dereceden polinomlar diğerlerinden çok daha sık asal üretir.

Kare nasıl doldurulur

Sarmal ortada 1 ile başlar. Sonraki sayı bir adım sağdadır; ardından yol saat yönünün tersine sola döner ve her düz parça bir öncekinden bir adım daha uzundur: bir adım, bir adım, iki, iki, üç, üç ve böyle devam eder. İlk tam kare satır satır şöyle okunur: 17 16 15 14 13, sonra 18 5 4 3 12, sonra 19 6 1 2 11, sonra 20 7 8 9 10, sonra 21 22 23 24 25. 1’den başka bir sayıdan da başlayabilirsiniz. Aynı türden çizgiler belirir. 41’den başlamak ünlü durumdur.

Çizgiler ikinci dereceden polinomlardır

Her köşegen ve her yatay ya da dikey ışın, tam olarak ikinci dereceden bir f(n) = 4n² + bn + c polinomunun değerler kümesidir. b çift olduğunda çizgi köşegendir ve değerler c’ye bağlı olarak ya hep tek ya hep çifttir. 2 dışındaki her asal tektir; bu yüzden asallar bir atlayarak köşegenlerde yer alır. Bu polinomların bazıları çarpanlarına ayrılır. 4n² + 8n + 3 = (2n + 1)(2n + 3) olduğundan o köşegende neredeyse hiç asal yoktur. Diğerleri şaşırtıcı sıklıkta asal kalır. Fark sihir değildir. Polinomun ne sıklıkla küçük bir asala bölünmek zorunda kaldığıyla ilgilidir. Bateman-Horn sanısının özel bir hâli olan Hardy ve Littlewood’un F Sanısı, ax² + bx + c boyunca yoğunluğu öngörür. Yoğunluk b² − 4ac diskriminantına bağlıdır. Hiçbir ikinci dereceden polinomun sonsuz sayıda asal ürettiği kanıtlanmamıştır. Bu, Landau problemlerinden biridir ve hâlâ açıktır.

Euler’in kırk asalı

Euler’in n² + n + 41 polinomu 0’dan 39’a kadar her n için asaldır. Bu kırk asal eder. n = 40’ta 1.681 = 41² verir ve dizi durur. Sarmalda bu değerler tek bir 4n² − 2n + 41 polinomudur; yani Euler polinomunun çift tam sayılardaki değerleri, karşı yöndeki 4n² + 2n + 41 ile birlikte. Merkezdeki hücre 1 yerine 41 olduğunda tek bir düz köşegen olurlar. Kesintisiz dizi, 1.523’ten (merkezin on dokuz adım güneybatısı) 41 üzerinden 1.601’e (yirmi adım kuzeydoğu) kadar olan kırk değerdir. Sonraki hücreler, 1.681 ve 1.763, bileşiktir; bu yüzden altın çizgi kırılır. Hardy ve Littlewood’un 4n² − 2n + 41 için sabiti yaklaşık 6,6’dır: sanıya göre bu değerler, aynı büyüklükteki rastgele sayılardan neredeyse yedi kat daha sık asaldır.

Resim ne işe yarar

Sarmal asal sayı teoremini çözmez ve uzun bir köşegen kanıt değildir. O bir haritadır. Asal bakımından zengin ve fakir ikinci dereceden polinomlar bir bakışta görülür; Ulam’ın ve ondan önce 1932’de Laurence Klauber’in onları çizmeye zahmet etmesinin nedeni budur. Klauber, satırları bir kare sayıdan bir sonrakine uzanan bir üçgen kullandı. Robert Sacks daha sonra tam sayıları bir Arşimet sarmalına yerleştirdi; böylece her turda bir kare sayı denk gelir. Orada Euler polinomu iki köşegen ışın yerine bir eğridir. Kare sarmalda bakılacak şey parmağınızın altındaki çizginin formülü, kaç asal içerdiği ve bunun, o büyüklükteki rastgele bir sayının asal olma olasılığı olan 1 / ln n ile nasıl karşılaştırıldığıdır.

PictorX’te keşfedin

Ulam sarmalını açın; klasik resmi görürsünüz: 101×101’lik bir kare, altın renkte asallar, gizlenmiş bileşik sayılar. Taşımak için sürükleyin, yakınlaştırmak için kaydırın. “5×5 ızgara” favorisi her sayıyı yazar; böylece yolu yukarıdaki kareyle karşılaştırabilirsiniz. “Euler’in 40’ı” sarmalı 41’den başlatır ve 4n² − 2n + 41’i çizer. “En zengin çizgi”, iki köşegen yönünde en çok asal içeren çizgiyi arar. Herhangi bir hücreye tıklayarak köşegenini polinom, en uzun asal dizisi ve aynı büyüklükteki rastgele bir sayıyla karşılaştırmayla birlikte göstergede görün. “Mod 4 kalanı” ve “Son basamak” asalları yeniden renklendirir. Bir PNG kaydedin veya tuvali PictorX düzenleyicisinde açın. Şaşırtıcı resimler veren başka basit kurallar için Collatz sanısı veya Langton’ın karıncası ile birlikte deneyin.

Sık sorulan sorular

Ulam sarmalını kim keşfetti?

Stanisław Ulam, 1963’te bir bilimsel toplantı sırasında karalama yaparken. Martin Gardner onu Mart 1964’te Scientific American’da yaygınlaştırdı. Laurence Klauber 1932’de asalların benzer bir üçgen dizilişini çizmişti.

Asallar neden hizalanır?

Kare sarmalın bir köşegeni, satırı veya sütunu ikinci dereceden bir 4n² + bn + c polinomudur. Bu polinomların bazıları alışılmadık sıklıkta küçük bir asala bölünür, bazıları ise neredeyse hiç bölünmez. Asallar geriye kalanlardır.

n² + n + 41’in özelliği nedir?

n = 0, 1, 2, …, 39 için asaldır, yani kırk asal; n = 40’ta ise değer 41² olduğundan bileşiktir. Sarmalı 41’den başlatırsanız bu dizi tek bir köşegendir: 1.523’ten 41 üzerinden 1.601’e, 4n² − 2n + 41’in değerleri.

Sarmal asalların nasıl dağıldığını kanıtlar mı?

Hayır. Hardy ve Littlewood’un F Sanısı’nın öngörmeye çalıştığı değişkenliği gösterir. Hiçbir ikinci dereceden polinomun sonsuz sayıda asal ürettiği kanıtlanmamıştır.