Om Ulams spiral | Primtalens fördelning och Eulers polynom

En klotter från 1963

Stanisław Ulam hittade spiralen 1963, under vad Martin Gardner senare kallade ett långt och mycket tråkigt föredrag på ett vetenskapligt möte. Ulam skrev de positiva heltalen i en spiral på ett kvadratiskt rutnät och ringade in primtalen. Ringarna hamnade på linjer. Han, Myron Stein och Mark Wells drev sedan bilden ut till omkring 100 000 punkter på datorn MANIAC II i Los Alamos. Gardners kolumn Mathematical Games i Scientific American i mars 1964 satte spiralen på omslaget. Linjerna är inget bevis för hur primtalen är fördelade. De är ett sätt att se ett faktum som talteorin redan kände till i annan form: vissa andragradspolynom ger primtal mycket oftare än andra.

Hur kvadraten fylls

Spiralen börjar med 1 i mitten. Nästa tal står ett steg till höger, och sedan svänger vägen vänster, moturs, och varje rak sträcka är ett steg längre än den förra: ett steg, ett steg, två, två, tre, tre och så vidare. Den första hela kvadraten lyder, rad för rad: 17 16 15 14 13, sedan 18 5 4 3 12, sedan 19 6 1 2 11, sedan 20 7 8 9 10, sedan 21 22 23 24 25. Du kan börja på ett annat tal än 1. Samma slags linjer dyker upp. Att börja på 41 är det berömda fallet.

Linjer är andragradspolynom

Varje diagonal, och varje vågrät eller lodrät stråle, är exakt mängden värden av ett andragradspolynom f(n) = 4n² + bn + c. När b är jämnt är linjen diagonal, och värdena är alla udda eller alla jämna beroende på c. Alla primtal utom 2 är udda, så primtalen ligger på varannan diagonal. Vissa av polynomen går att faktorisera. 4n² + 8n + 3 = (2n + 1)(2n + 3), så den diagonalen är nästan tom på primtal. Andra ger förvånansvärt ofta primtal. Skillnaden är ingen magi. Den handlar om hur ofta polynomet tvingas vara delbart med ett litet primtal. Hardys och Littlewoods förmodan F, ett specialfall av Bateman–Horns förmodan, förutsäger tätheten längs ax² + bx + c. Tätheten beror på diskriminanten b² − 4ac. Inget andragradspolynom har bevisats ge oändligt många primtal. Det är ett av Landaus problem, och det är fortfarande öppet.

Eulers fyrtio primtal

Eulers polynom n² + n + 41 ger ett primtal för varje n från 0 till 39. Det blir fyrtio primtal. Vid n = 40 ger det 1 681 = 41², och följden tar slut. På spiralen är värdena det enda polynomet 4n² − 2n + 41, alltså Eulers polynom i de jämna talen, tillsammans med motsatt riktning 4n² + 2n + 41. De blir en enda rak diagonal när mittcellen är 41 i stället för 1. Den obrutna följden är de fyrtio värdena från 1 523 (nitton steg sydväst om mitten) via 41 till 1 601 (tjugo steg åt nordost). Nästa celler, 1 681 och 1 763, är sammansatta, så den gyllene linjen bryts. Hardys och Littlewoods konstant för 4n² − 2n + 41 är ungefär 6,6: förmodan säger att värdena är primtal nästan sju gånger så ofta som slumptal av samma storlek.

Vad bilden är till för

Spiralen avgör inte primtalssatsen, och en lång diagonal är inget bevis. Den är en karta. Andragradspolynom som är rika eller fattiga på primtal syns direkt, och därför brydde sig Ulam, och före honom Laurence Klauber 1932, om att rita dem. Klauber använde en triangel vars rader går från en kvadrat till nästa. Robert Sacks placerade senare heltalen på en arkimedisk spiral så att en kvadrat hamnar på varje varv; där är Eulers polynom en kurva i stället för två diagonala strålar. I den kvadratiska spiralen är det formeln för linjen under fingret du ska titta på, hur många primtal den innehåller och hur det står sig mot 1 / ln n, sannolikheten att ett slumptal av den storleken är ett primtal.

Utforska den i PictorX

Öppna Ulams spiral så får du den klassiska bilden: en kvadrat på 101×101, primtal i guld, sammansatta tal dolda. Dra för att flytta och scrolla för att zooma. Favoriten ”5×5-rutnät” skriver ut varje tal, så att du kan jämföra vägen med kvadraten ovan. ”Eulers 40” börjar spiralen på 41 och ritar 4n² − 2n + 41. ”Rikaste linjen” söker i båda diagonalriktningarna efter linjen med flest primtal. Klicka på en cell för att visa dess diagonal med polynomet, den längsta primtalsföljden och jämförelsen med ett slumptal av samma storlek. ”Rest mod 4” och ”Sista siffran” färgar om primtalen. Spara en PNG eller öppna arbetsytan i PictorX-redigeraren. Kombinera den med Collatz förmodan eller Langtons myra för fler enkla regler med en överraskande bild.

Ofta ställda frågor

Vem upptäckte Ulams spiral?

Stanisław Ulam, 1963, när han klottrade under ett vetenskapligt möte. Martin Gardner gjorde den känd i Scientific American i mars 1964. Laurence Klauber hade 1932 ritat en besläktad triangulär uppställning av primtal.

Varför hamnar primtalen på linjer?

En diagonal, rad eller kolumn i den kvadratiska spiralen är ett andragradspolynom 4n² + bn + c. Vissa av polynomen är ovanligt ofta delbara med ett litet primtal, och vissa nästan aldrig. Primtalen är det som blir kvar.

Vad är speciellt med n² + n + 41?

Det är primtal för n = 0, 1, 2, …, 39, fyrtio primtal, och sammansatt vid n = 40 eftersom värdet är 41². Börja spiralen på 41 så är följden en enda diagonal: 1 523 via 41 till 1 601, värdena av 4n² − 2n + 41.

Bevisar spiralen hur primtalen är fördelade?

Nej. Den visar den variation som Hardys och Littlewoods förmodan F försöker förutsäga. Inget andragradspolynom har bevisats ge oändligt många primtal.