Về xoắn ốc Ulam | Phân bố số nguyên tố và đa thức Euler

Một nét vẽ nguệch ngoạc năm 1963

Stanisław Ulam tìm ra xoắn ốc năm 1963, trong lúc nghe một bài báo cáo tại hội nghị khoa học mà sau này Martin Gardner gọi là dài và rất nhàm chán. Ulam viết các số nguyên dương theo hình xoắn ốc trên lưới vuông và khoanh tròn các số nguyên tố. Các vòng tròn xếp thành hàng. Sau đó ông, Myron Stein và Mark Wells mở rộng bức hình đến khoảng 100.000 điểm trên máy tính MANIAC II ở Los Alamos. Chuyên mục Mathematical Games của Gardner trên Scientific American tháng 3 năm 1964 đã đưa xoắn ốc lên trang bìa. Những đường thẳng ấy không phải là chứng minh về khoảng cách giữa các số nguyên tố. Chúng là cách để nhìn thấy một sự thật mà lý thuyết số đã biết dưới dạng khác: một số đa thức bậc hai tạo ra số nguyên tố thường xuyên hơn nhiều so với các đa thức khác.

Hình vuông được lấp đầy thế nào

Xoắn ốc bắt đầu bằng 1 ở tâm. Số tiếp theo cách một bước về bên phải, rồi đường đi rẽ trái, ngược chiều kim đồng hồ, mỗi đoạn thẳng dài hơn đoạn trước một bước: một bước, một bước, hai, hai, ba, ba, cứ thế tiếp tục. Hình vuông hoàn chỉnh đầu tiên đọc theo từng hàng là: 17 16 15 14 13, rồi 18 5 4 3 12, rồi 19 6 1 2 11, rồi 20 7 8 9 10, rồi 21 22 23 24 25. Bạn có thể bắt đầu từ một số khác 1. Những đường cùng loại vẫn xuất hiện. Bắt đầu từ 41 là trường hợp nổi tiếng.

Các đường là đa thức bậc hai

Mỗi đường chéo, và mỗi tia ngang hoặc dọc, chính là tập giá trị của một đa thức bậc hai f(n) = 4n² + bn + c. Khi b chẵn, đường đó là đường chéo, và các giá trị đều lẻ hoặc đều chẵn tùy theo c. Mọi số nguyên tố trừ 2 đều lẻ, nên các số nguyên tố nằm trên các đường chéo cách một. Một số đa thức bậc hai đó phân tích được thành nhân tử. 4n² + 8n + 3 = (2n + 1)(2n + 3), nên đường chéo ấy gần như không có số nguyên tố. Những đa thức khác vẫn cho số nguyên tố thường xuyên đến bất ngờ. Sự khác biệt không phải phép màu. Đó là việc đa thức buộc phải chia hết cho một số nguyên tố nhỏ thường xuyên đến mức nào. Giả thuyết F của Hardy và Littlewood, một trường hợp đặc biệt của giả thuyết Bateman–Horn, dự đoán mật độ dọc theo ax² + bx + c. Mật độ phụ thuộc vào biệt thức b² − 4ac. Chưa có đa thức bậc hai nào được chứng minh là cho vô hạn số nguyên tố. Đó là một trong các bài toán của Landau và vẫn còn bỏ ngỏ.

Bốn mươi số nguyên tố của Euler

Đa thức Euler n² + n + 41 là số nguyên tố với mọi n từ 0 đến 39. Đó là bốn mươi số nguyên tố. Tại n = 40, nó cho 1.681 = 41², và chuỗi dừng lại. Trên xoắn ốc, các giá trị đó là một đa thức duy nhất 4n² − 2n + 41, tức đa thức Euler tại các số chẵn, cùng với chiều ngược lại 4n² + 2n + 41. Chúng trở thành một đường chéo thẳng khi ô trung tâm là 41 thay vì 1. Chuỗi không đứt gồm bốn mươi giá trị từ 1.523 (mười chín bước về phía tây nam tâm) qua 41 đến 1.601 (hai mươi bước về phía đông bắc). Các ô tiếp theo, 1.681 và 1.763, là hợp số, nên đường màu vàng bị đứt. Hằng số Hardy–Littlewood cho 4n² − 2n + 41 vào khoảng 6,6: giả thuyết cho rằng các giá trị này là số nguyên tố thường xuyên gần gấp bảy lần các số ngẫu nhiên cùng độ lớn.

Bức hình dùng để làm gì

Xoắn ốc không quyết định định lý số nguyên tố, và một đường chéo dài không phải là chứng minh. Nó là một tấm bản đồ. Các đa thức bậc hai giàu hay nghèo số nguyên tố hiện ra chỉ trong một cái nhìn, và đó là lý do Ulam, cùng Laurence Klauber trước ông vào năm 1932, chịu khó vẽ chúng. Klauber dùng một hình tam giác mà mỗi hàng chạy từ một số chính phương đến số kế tiếp. Về sau Robert Sacks đặt các số nguyên lên một xoắn ốc Archimedes sao cho mỗi vòng có đúng một số chính phương; ở đó đa thức Euler là một đường cong chứ không phải hai tia chéo. Trong xoắn ốc vuông, điều cần xem là công thức của đường dưới ngón tay bạn, nó chứa bao nhiêu số nguyên tố, và so với 1 / ln n, xác suất một số ngẫu nhiên cùng độ lớn là số nguyên tố, thì thế nào.

Khám phá trong PictorX

Mở xoắn ốc Ulam và bạn sẽ thấy bức hình kinh điển: một hình vuông 101×101, số nguyên tố màu vàng, hợp số được ẩn. Kéo để di chuyển và cuộn để thu phóng. Mục yêu thích “Lưới 5×5” ghi ra mọi con số, để bạn đối chiếu đường đi với hình vuông ở trên. “40 số của Euler” bắt đầu xoắn ốc từ 41 và vẽ 4n² − 2n + 41. “Đường giàu nhất” tìm trên cả hai hướng chéo đường có nhiều số nguyên tố nhất. Nhấp vào bất kỳ ô nào để xem đường chéo của nó, kèm đa thức, chuỗi số nguyên tố dài nhất và phép so sánh với một số ngẫu nhiên cùng độ lớn. “Số dư mod 4” và “Chữ số cuối” tô lại màu cho số nguyên tố. Lưu ảnh PNG hoặc mở canvas trong trình chỉnh sửa PictorX. Kết hợp với giả thuyết Collatz hoặc con kiến Langton để xem thêm những quy tắc đơn giản cho ra hình ảnh bất ngờ.

Hỏi thường xuyên

Ai đã phát hiện ra xoắn ốc Ulam?

Stanisław Ulam, vào năm 1963, khi đang vẽ nguệch ngoạc trong một cuộc họp khoa học. Martin Gardner phổ biến nó trên Scientific American vào tháng 3 năm 1964. Laurence Klauber đã vẽ một bảng tam giác các số nguyên tố có liên quan từ năm 1932.

Vì sao các số nguyên tố xếp thành hàng?

Một đường chéo, hàng hoặc cột của xoắn ốc vuông là một đa thức bậc hai 4n² + bn + c. Một số đa thức đó chia hết cho một số nguyên tố nhỏ thường xuyên bất thường, còn một số hầu như không bao giờ. Số nguyên tố là những gì còn lại.

n² + n + 41 có gì đặc biệt?

Nó là số nguyên tố với n = 0, 1, 2, …, 39, tức bốn mươi số nguyên tố, và là hợp số tại n = 40 vì giá trị là 41². Trên xoắn ốc, bắt đầu từ 41 thì chuỗi đó là một đường chéo: từ 1.523 qua 41 đến 1.601, các giá trị của 4n² − 2n + 41.

Xoắn ốc có chứng minh được cách phân bố số nguyên tố không?

Không. Nó cho thấy sự biến thiên mà Giả thuyết F của Hardy và Littlewood cố gắng dự đoán. Chưa có đa thức bậc hai nào được chứng minh là sinh ra vô hạn số nguyên tố.