عن حلزون أولام | توزيع الأعداد الأولية وكثير حدود أويلر

خربشة من عام 1963

اكتشف ستانيسواف أولام الحلزون عام 1963، أثناء ما وصفه مارتن غاردنر لاحقًا بأنه محاضرة طويلة ومملة جدًا في اجتماع علمي. كتب أولام الأعداد الصحيحة الموجبة على شكل حلزون فوق شبكة مربعة ورسم دوائر حول الأعداد الأولية. فاصطفت الدوائر. ثم وسّع هو ومايرون ستاين ومارك ويلز الصورة إلى نحو 100000 نقطة على حاسوب MANIAC II في لوس ألاموس. ووضع عمود غاردنر «ألعاب رياضية» في مجلة Scientific American في مارس 1964 الحلزون على الغلاف. ليست الخطوط برهانًا على كيفية تباعد الأعداد الأولية. إنها طريقة لرؤية حقيقة كانت نظرية الأعداد تعرفها بشكل آخر: بعض كثيرات الحدود التربيعية تنتج أعدادًا أولية أكثر بكثير من غيرها.

كيف يُملأ المربع

يبدأ الحلزون بالعدد 1 في المركز. العدد التالي على بعد خطوة إلى اليمين، ثم ينعطف المسار يسارًا، عكس اتجاه عقارب الساعة، وكل مقطع مستقيم أطول بخطوة من سابقه: خطوة، خطوة، اثنتان، اثنتان، ثلاث، ثلاث، وهكذا. يُقرأ أول مربع كامل صفًا صفًا: 17 16 15 14 13، ثم 18 5 4 3 12، ثم 19 6 1 2 11، ثم 20 7 8 9 10، ثم 21 22 23 24 25. يمكنك البدء من عدد غير 1، فتظهر خطوط من النوع نفسه. والبدء من 41 هو الحالة الشهيرة.

الخطوط كثيرات حدود تربيعية

كل قطر، وكل شعاع أفقي أو عمودي، هو بالضبط مجموعة قيم كثير حدود تربيعي f(n) = 4n² + bn + c. حين يكون b زوجيًا يكون الخط قطريًا، وتكون القيم كلها فردية أو كلها زوجية بحسب c. كل عدد أولي عدا 2 فردي، لذا تقع الأعداد الأولية على قطر من كل قطرين. بعض كثيرات الحدود هذه يتحلل إلى عوامل. 4n² + 8n + 3 = (2n + 1)(2n + 3)، لذلك يكاد ذلك القطر يخلو من الأعداد الأولية. وبعضها الآخر يبقى أوليًا بتكرار مدهش. الفرق ليس سحرًا. إنه مقدار ما يُجبَر كثير الحدود على قبول القسمة على عدد أولي صغير. تتنبأ حدسية F لهاردي وليتلوود، وهي حالة خاصة من حدسية بيتمان-هورن، بالكثافة على امتداد ax² + bx + c. وتعتمد الكثافة على المميِّز b² − 4ac. لم يُثبت بعد أن أي كثير حدود تربيعي يولّد عددًا لا نهائيًا من الأعداد الأولية. وهذه إحدى مسائل لانداو، ولا تزال مفتوحة.

أعداد أويلر الأولية الأربعون

كثير حدود أويلر n² + n + 41 عدد أولي لكل n من 0 إلى 39. أي أربعون عددًا أوليًا. وعند n = 40 يعطي 1681 = 41²، فتتوقف السلسلة. على الحلزون، هذه القيم هي كثير الحدود الوحيد 4n² − 2n + 41، أي كثير حدود أويلر عند الأعداد الزوجية، مع الاتجاه المعاكس 4n² + 2n + 41. وتصبح قطرًا مستقيمًا واحدًا حين تكون الخلية المركزية 41 بدلًا من 1. السلسلة المتصلة هي القيم الأربعون من 1523 (تسع عشرة خطوة جنوب غرب المركز) مرورًا بـ41 حتى 1601 (عشرون خطوة شمال شرق). الخليتان التاليتان، 1681 و1763، مركّبتان، فينقطع الخط الذهبي. ثابت هاردي وليتلوود لـ4n² − 2n + 41 نحو 6٫6: تقول الحدسية إن هذه القيم أولية بمعدل يقارب سبعة أضعاف الأعداد العشوائية بالحجم نفسه.

ما فائدة الصورة

لا يحسم الحلزون مبرهنة الأعداد الأولية، وليس القطر الطويل برهانًا. إنه خريطة. تظهر كثيرات الحدود التربيعية الغنية بالأعداد الأولية والفقيرة بها من النظرة الأولى، ولهذا تكلّف أولام، وقبله لورنس كلاوبر عام 1932، عناء رسمها. استخدم كلاوبر مثلثًا تمتد صفوفه من مربع كامل إلى الذي يليه. ثم وضع روبرت ساكس الأعداد الصحيحة لاحقًا على حلزون أرخميدس بحيث يقع مربع كامل واحد في كل دورة؛ وهناك يكون كثير حدود أويلر منحنى لا شعاعين قطريين. في الحلزون المربع، ما ينبغي النظر إليه هو صيغة الخط الواقع تحت إصبعك، وعدد الأعداد الأولية التي يحويها، ومقارنة ذلك بـ1 / ln n، أي احتمال أن يكون عدد عشوائي بهذا الحجم أوليًا.

استكشفه في PictorX

افتح حلزون أولام وستحصل على الصورة الكلاسيكية: مربع 101×101، والأعداد الأولية بالذهبي، والمركّبة مخفية. اسحب للتحريك ومرّر للتكبير. المفضّلة «شبكة 5×5» تكتب كل عدد، لتتحقق من المسار مقابل المربع أعلاه. «أعداد أويلر الأربعون» تبدأ الحلزون من 41 وترسم 4n² − 2n + 41. «أغنى خط» يبحث في الاتجاهين القطريين عن الخط الذي يضم أكثر الأعداد الأولية. انقر أي خلية لعرض قطرها في لوحة القراءة، مع كثير الحدود وأطول سلسلة أولية والمقارنة بعدد عشوائي بالحجم نفسه. «باقي القسمة على 4» و«الرقم الأخير» يعيدان تلوين الأعداد الأولية. احفظ صورة PNG أو افتح اللوحة في محرر PictorX. اجمعه مع حدسية كولاتز أو نملة لانغتون لمزيد من القواعد البسيطة ذات الصور المدهشة.

الأسئلة المتداولة

من اكتشف حلزون أولام؟

ستانيسواف أولام، عام 1963، وهو يخربش أثناء اجتماع علمي. ونشره مارتن غاردنر في Scientific American في مارس 1964. وكان لورنس كلاوبر قد رسم عام 1932 ترتيبًا مثلثيًا مشابهًا للأعداد الأولية.

لماذا تصطف الأعداد الأولية؟

القطر أو الصف أو العمود في الحلزون المربع هو كثير حدود تربيعي 4n² + bn + c. بعض كثيرات الحدود هذه تقبل القسمة على عدد أولي صغير بتكرار غير عادي، وبعضها لا يكاد يقبلها أبدًا. والأعداد الأولية هي ما يتبقى.

ما المميز في n² + n + 41؟

إنه أولي عند n = 0, 1, 2, …, 39، أي أربعون عددًا أوليًا، ومركّب عند n = 40 لأن القيمة 41². على الحلزون، ابدأ من 41 فتصبح هذه السلسلة قطرًا واحدًا: من 1523 مرورًا بـ41 حتى 1601، وهي قيم 4n² − 2n + 41.

هل يثبت الحلزون كيف تتوزع الأعداد الأولية؟

لا. إنه يُظهر التفاوت الذي تحاول حدسية F لهاردي وليتلوود التنبؤ به. لم يُثبت أن أي كثير حدود تربيعي يولّد عددًا لا نهائيًا من الأعداد الأولية.