Tentang spiral Ulam | Sebaran bilangan prima & polinomial Euler

Coretan dari tahun 1963

Stanisław Ulam menemukan spiral ini pada 1963, saat mendengarkan apa yang kemudian disebut Martin Gardner sebagai makalah yang panjang dan sangat membosankan di sebuah pertemuan ilmiah. Ulam menulis bilangan bulat positif secara spiral pada kisi persegi dan melingkari bilangan prima. Lingkaran-lingkaran itu berbaris. Ia, Myron Stein, dan Mark Wells lalu memperluas gambarnya hingga sekitar 100.000 titik dengan komputer MANIAC II di Los Alamos. Kolom Mathematical Games karya Gardner di Scientific American edisi Maret 1964 menampilkan spiral itu di sampul. Garis-garis itu bukan bukti tentang jarak antarbilangan prima. Garis-garis itu adalah cara melihat fakta yang sudah diketahui teori bilangan dalam bentuk lain: sebagian polinomial kuadrat menghasilkan bilangan prima jauh lebih sering daripada yang lain.

Cara persegi diisi

Spiral dimulai dengan 1 di pusat. Bilangan berikutnya satu langkah ke kanan, lalu jalurnya berbelok ke kiri, berlawanan arah jarum jam, dengan setiap ruas lurus satu langkah lebih panjang dari sebelumnya: satu langkah, satu langkah, dua, dua, tiga, tiga, dan seterusnya. Persegi lengkap pertama dibaca baris demi baris: 17 16 15 14 13, lalu 18 5 4 3 12, lalu 19 6 1 2 11, lalu 20 7 8 9 10, lalu 21 22 23 24 25. Anda bisa memulai dari bilangan selain 1. Garis-garis yang serupa tetap muncul. Memulai dari 41 adalah kasus yang terkenal.

Garis adalah polinomial kuadrat

Setiap diagonal, serta setiap sinar mendatar atau tegak, tepat merupakan himpunan nilai polinomial kuadrat f(n) = 4n² + bn + c. Bila b genap, garisnya diagonal, dan nilainya semuanya ganjil atau semuanya genap, bergantung pada c. Setiap bilangan prima kecuali 2 adalah ganjil, jadi bilangan prima berada pada diagonal yang berselang-seling. Sebagian polinomial itu dapat difaktorkan. 4n² + 8n + 3 = (2n + 1)(2n + 3), sehingga diagonal itu hampir tanpa bilangan prima. Yang lain tetap prima dengan frekuensi yang mengejutkan. Perbedaannya bukan sihir. Semuanya bergantung pada seberapa sering polinomial itu terpaksa habis dibagi bilangan prima kecil. Konjektur F Hardy dan Littlewood, kasus khusus dari konjektur Bateman–Horn, memprediksi kerapatan di sepanjang ax² + bx + c. Kerapatan itu bergantung pada diskriminan b² − 4ac. Belum ada polinomial kuadrat yang terbukti menghasilkan tak hingga banyak bilangan prima. Itu salah satu masalah Landau, dan masih terbuka.

Empat puluh bilangan prima Euler

Polinomial Euler n² + n + 41 prima untuk setiap n dari 0 sampai 39. Itu empat puluh bilangan prima. Pada n = 40 hasilnya 1.681 = 41², dan deretnya berhenti. Pada spiral, nilai-nilai itu adalah satu polinomial 4n² − 2n + 41, yaitu polinomial Euler pada bilangan genap, bersama arah sebaliknya 4n² + 2n + 41. Keduanya menjadi satu diagonal lurus bila sel di pusat adalah 41, bukan 1. Deret tak terputus itu adalah empat puluh nilai dari 1.523 (sembilan belas langkah ke barat daya dari pusat) melalui 41 hingga 1.601 (dua puluh langkah ke timur laut). Sel berikutnya, 1.681 dan 1.763, adalah komposit, sehingga garis emasnya terputus. Konstanta Hardy dan Littlewood untuk 4n² − 2n + 41 sekitar 6,6: menurut konjektur, nilai-nilai ini prima hampir tujuh kali lebih sering daripada bilangan acak sebesar itu.

Untuk apa gambar ini

Spiral ini tidak memutuskan teorema bilangan prima, dan diagonal yang panjang bukanlah bukti. Ia adalah peta. Polinomial kuadrat yang kaya dan miskin bilangan prima terlihat sekilas, dan itulah sebabnya Ulam, serta Laurence Klauber sebelumnya pada 1932, repot-repot menggambarnya. Klauber memakai segitiga yang barisnya membentang dari satu bilangan kuadrat ke bilangan kuadrat berikutnya. Robert Sacks kemudian menaruh bilangan bulat pada spiral Archimedes sehingga satu bilangan kuadrat jatuh di setiap putaran; di sana polinomial Euler berupa kurva, bukan dua sinar diagonal. Pada spiral persegi, yang perlu dilihat adalah rumus garis di bawah jari Anda, berapa bilangan prima yang dimuatnya, dan bagaimana perbandingannya dengan 1 / ln n, peluang bilangan acak sebesar itu adalah prima.

Jelajahi di PictorX

Buka spiral Ulam dan Anda mendapatkan gambar klasiknya: persegi 101×101, bilangan prima berwarna emas, bilangan komposit disembunyikan. Seret untuk menggeser dan gulir untuk memperbesar. Favorit “Kisi 5×5” menuliskan setiap angka, sehingga Anda dapat mencocokkan jalurnya dengan persegi di atas. “40 Euler” memulai spiral dari 41 dan menggambar 4n² − 2n + 41. “Garis terkaya” mencari di kedua arah diagonal garis dengan bilangan prima terbanyak. Klik sel mana pun untuk menampilkan diagonalnya, lengkap dengan polinomial, deret prima terpanjang, dan perbandingan dengan bilangan acak sebesar itu. “Sisa mod 4” dan “Digit terakhir” mewarnai ulang bilangan prima. Simpan PNG atau buka kanvas di editor PictorX. Padukan dengan konjektur Collatz atau semut Langton untuk aturan sederhana lain dengan gambar yang mengejutkan.

Frequently asked questions

Siapa yang menemukan spiral Ulam?

Stanisław Ulam, pada 1963, saat mencoret-coret selama sebuah pertemuan ilmiah. Martin Gardner mempopulerkannya di Scientific American pada Maret 1964. Laurence Klauber telah menggambar susunan segitiga bilangan prima yang serupa pada 1932.

Mengapa bilangan prima berbaris?

Diagonal, baris, atau kolom spiral persegi adalah polinomial kuadrat 4n² + bn + c. Sebagian polinomial itu habis dibagi bilangan prima kecil dengan frekuensi tak biasa, dan sebagian hampir tidak pernah. Bilangan prima adalah sisanya.

Apa istimewanya n² + n + 41?

Polinomial ini prima untuk n = 0, 1, 2, …, 39, empat puluh bilangan prima, dan komposit pada n = 40 karena nilainya 41². Pada spiral, mulailah dari 41 dan deret itu menjadi satu diagonal: 1.523 melalui 41 hingga 1.601, nilai-nilai 4n² − 2n + 41.

Apakah spiral membuktikan sebaran bilangan prima?

Tidak. Spiral menunjukkan variasi yang coba diprediksi oleh Konjektur F Hardy dan Littlewood. Belum ada polinomial kuadrat yang terbukti menghasilkan tak hingga banyak bilangan prima.