몬테카를로 방법과 π

확률로서의 넓이

정사각형 안에서 모든 지점이 같은 확률을 갖도록 점 하나를 무작위로 고르세요. 그 점이 어떤 영역에 떨어질 확률은 그 영역의 넓이를 정사각형의 넓이로 나눈 값입니다. 반지름이 1인 원의 넓이는 π이고, 그 원을 둘러싼 정사각형은 한 변이 2, 넓이가 4입니다. 따라서 무작위로 고른 점이 원 안에 떨어질 확률은 P = π/4 ≈ 0.785입니다.

명중에서 π로

다트 N개를 던지고 원 안에 들어간 명중 H를 세세요. 비율 H/N은 π/4를 추정하므로

π ≈ 4H / N

입니다. 명중 여부를 판정하는 데는 π가 전혀 필요 없습니다. 중심에서 반지름을 단위로 잰 점 (x, y)는 x² + y² ≤ 1일 때 원 안에 있습니다. π는 세는 과정에서 나옵니다.

사분원 버전은 한 변이 1인 정사각형의 한 모서리에 중심을 둡니다. 사분원도 그 정사각형의 π/4를 차지하므로 같은 공식이 성립합니다.

큰 수의 법칙

다트 하나하나는 결과가 두 가지뿐인 작은 실험입니다. 확률 p = π/4로 명중하거나, 빗나갑니다. 야코프 베르누이가 증명해 1713년에 출판된 큰 수의 법칙은 N이 커질수록 명중 비율이 p에 얼마든지 가까워진다고 말합니다. 그렇다고 명중과 빗나감이 짧은 기간에 균형을 이룬다는 뜻은 아닙니다. 추정값은 오랫동안 π에서 멀어졌다가 다시 돌아올 수 있습니다.

얼마나 빠를까?

명중 횟수는 이항 분포를 따릅니다. 그 표준 편차를 π의 척도로 바꾸면 전형적인 오차가 나옵니다.

σ ≈ 4 · √(p(1 − p) / N) ≈ 1.64 / √N

다트 100개 뒤에는 약 0.16, 1만 개 뒤에는 약 0.016, 100만 개 뒤에는 약 0.0016입니다. 오차는 N의 제곱근에 반비례해 줄어듭니다. 다트를 100배로 늘려야 맞는 자릿수가 하나 늘어납니다. 앱의 음영 띠는 ±1.96σ로 전체 실행의 95%를 담고, 추정값 뒤의 ±는 표준 오차 하나입니다.

이름의 유래

1946년, 병에서 회복하던 스타니스와프 울람은 솔리테어 한 판을 이길 확률이 얼마나 될지 궁금해졌습니다. 가능한 모든 패를 세는 대신, 그냥 여러 판을 해 보고 이긴 횟수를 세면 된다고 생각했습니다. 그는 존 폰 노이만과 함께 이 아이디어를 로스앨러모스의 중성자 계산을 위한 방법으로 발전시켰고, 동료 니컬러스 메트로폴리스는 울람의 삼촌이 즐겨 도박하던 몬테카를로 카지노의 이름을 따서 이 방법을 명명했습니다. 1777년의 뷔퐁의 바늘처럼 훨씬 오래된 우연의 실험들도 이미 같은 정신으로 π를 추정했습니다.

PictorX에서 살펴보기

몬테카를로 π를 열면 다트가 이미 초당 1,000개씩 날아가고 있습니다. 카운터는 π와 이미 일치하는 자릿수에 색을 입히고, 그래프는 실행의 95%가 들어가는 띠 안에서 추정값을 로그 축 위에 보여 줍니다. '슬로 모션'은 초당 다트 하나를 던지고 중심까지의 거리를 그립니다. 정사각형을 클릭하면 직접 다트를 던질 수 있습니다. '다트 100만 개'는 모두 한꺼번에 던집니다. '사분원'은 모서리 버전으로 바꾸고, '오래된 다트 흐리게'는 빠른 속도에서도 화면을 생생하게 유지합니다. PNG로 저장하거나, 떨어지는 바늘로 π를 추정하는 뷔퐁의 바늘과 비교해 보세요.