El método de Montecarlo y π

Áreas como probabilidades

Elige un punto al azar en un cuadrado, con todos los lugares igual de probables. La probabilidad de que caiga en una región es el área de esa región dividida entre el área del cuadrado. Un círculo de radio 1 tiene área π, y el cuadrado que lo rodea tiene lados de 2 y área 4. Así que un punto al azar cae dentro del círculo con probabilidad P = π/4 ≈ 0,785.

De los aciertos a π

Lanza N dardos y cuenta los aciertos H dentro del círculo. La proporción H/N estima π/4, así que

π ≈ 4H / N

Comprobar un acierto no necesita π en absoluto: un punto (x, y), medido desde el centro con el radio como unidad, está dentro del círculo cuando x² + y² ≤ 1. El π sale del recuento.

La versión del cuarto de círculo pone el centro en una esquina de un cuadrado de lado 1. El cuarto de círculo también cubre π/4 de ese cuadrado, así que vale la misma fórmula.

La ley de los grandes números

Cada dardo es un pequeño experimento con dos resultados: un acierto, con probabilidad p = π/4, o un fallo. La ley de los grandes números, demostrada por Jacob Bernoulli y publicada en 1713, dice que la proporción de aciertos se acerca tanto como se quiera a p a medida que crece N. No dice que aciertos y fallos se compensen a corto plazo: la estimación puede alejarse de π durante mucho tiempo antes de volver.

¿Con qué rapidez converge?

El número de aciertos sigue una distribución binomial. Su desviación estándar, llevada a la escala de π, da el error típico

σ ≈ 4 · √(p(1 − p) / N) ≈ 1.64 / √N

Tras 100 dardos es de unos 0,16; tras 10 000, de unos 0,016; tras un millón, de unos 0,0016. El error disminuye con la raíz cuadrada de N: cien veces más dardos dan una cifra correcta más. En la aplicación, la banda sombreada es ±1,96σ, que contiene el 95 % de todas las simulaciones, y el ± tras la estimación es un error estándar.

De dónde viene el nombre

En 1946, Stanislaw Ulam, que se recuperaba de una enfermedad, se preguntó qué probabilidad había de ganar una partida de solitario. En lugar de contar todos los repartos posibles, pensó en jugar sin más muchas partidas y contar las victorias. Con John von Neumann convirtió la idea en un método para los cálculos de neutrones de Los Álamos, y su colega Nicholas Metropolis le puso el nombre del casino de Montecarlo, donde al tío de Ulam le gustaba apostar. Experimentos con el azar mucho más antiguos, como la aguja de Buffon de 1777, ya estimaban π con el mismo espíritu.

Explóralo en PictorX

Abre π por Montecarlo y los dardos ya están volando, mil por segundo. El contador colorea las cifras que ya coinciden con π, y el gráfico muestra la estimación en un eje logarítmico dentro de la banda donde acaba el 95 % de las simulaciones. «Cámara lenta» lanza un dardo por segundo y dibuja su distancia al centro; haz clic en el cuadrado para lanzar tú un dardo. «Un millón de dardos» los lanza todos de golpe. «Cuarto de círculo» cambia a la versión de la esquina, y «Atenuar los dardos antiguos» mantiene viva la imagen a gran velocidad. Guarda un PNG o compara con la aguja de Buffon, que estima π con agujas que caen.