Monte Carlo-metoden og π

Arealer som sandsynligheder

Vælg et tilfældigt punkt i et kvadrat, hvor alle steder er lige sandsynlige. Sandsynligheden for, at det lander i et bestemt område, er områdets areal divideret med kvadratets areal. En cirkel med radius 1 har arealet π, og kvadratet omkring den har sider på 2 og arealet 4. Et tilfældigt punkt lander altså inden for cirklen med sandsynligheden P = π/4 ≈ 0,785.

Fra træffere til π

Kast N pile, og tæl træfferne H inden for cirklen. Andelen H/N estimerer π/4, så

π ≈ 4H / N

Testen for en træffer kræver slet ikke π: et punkt (x, y), målt fra centrum med radius som enhed, ligger inden for cirklen, når x² + y² ≤ 1. π kommer ud af optællingen.

Kvartcirkel-versionen lægger centrum i et hjørne af et kvadrat med siden 1. Kvartcirklen dækker også π/4 af det kvadrat, så den samme formel gælder.

De store tals lov

Hver pil er et lille eksperiment med to udfald: en træffer med sandsynligheden p = π/4 eller en forbier. De store tals lov, bevist af Jacob Bernoulli og udgivet i 1713, siger, at andelen af træffere kommer vilkårligt tæt på p, når N vokser. Den siger ikke, at træffere og forbiere udligner hinanden på kort sigt: estimatet kan vandre væk fra π i lang tid, før det kommer tilbage.

Hvor hurtigt går det?

Antallet af træffere følger en binomialfordeling. Dens standardafvigelse, omregnet til π’s skala, giver den typiske fejl

σ ≈ 4 · √(p(1 − p) / N) ≈ 1.64 / √N

Efter 100 pile er det omkring 0,16, efter 10.000 omkring 0,016, efter en million omkring 0,0016. Fejlen skrumper med kvadratroden af N: hundrede gange så mange pile giver ét korrekt ciffer mere. I appen er det skraverede bånd ±1,96σ, som rummer 95 % af alle forsøg, og ± efter estimatet er én standardfejl.

Hvor navnet kommer fra

I 1946 var Stanislaw Ulam ved at komme sig over en sygdom og undrede sig over, hvor sandsynligt det var at vinde et spil kabale. I stedet for at tælle alle mulige kortfordelinger fik han den idé simpelthen at spille mange spil og tælle sejrene. Sammen med John von Neumann gjorde han idéen til en metode til neutronberegningerne i Los Alamos, og deres kollega Nicholas Metropolis opkaldte den efter kasinoet i Monte Carlo, hvor Ulams onkel holdt af at spille. Langt ældre eksperimenter med tilfældighed, som Buffons nål fra 1777, estimerede allerede π i samme ånd.

Udforsk det i PictorX

Åbn Monte Carlo-π, og pilene flyver allerede, tusind i sekundet. Tælleren farver de cifre, der allerede stemmer med π, og grafen viser estimatet på en logaritmisk akse inden for båndet, hvor 95 % af forsøgene ender. »Slowmotion« kaster én pil i sekundet og tegner dens afstand til centrum; klik på kvadratet for selv at kaste en pil. »En million pile« kaster dem alle på én gang. »Kvartcirkel« skifter til hjørneversionen, og »Lad gamle pile falme« holder billedet levende ved høj fart. Gem en PNG, eller sammenlign med Buffons nål, som estimerer π med faldende nåle.