モンテカルロ法と π

確率としての面積

正方形の中から、どの場所も同じ確率で選ばれるように点を1つランダムに選びます。その点がある領域に入る確率は、その領域の面積を正方形の面積で割ったものです。半径1の円の面積は π で、それを囲む正方形は1辺が2、面積が4です。したがって、ランダムな点が円の内側に入る確率は P = π/4 ≈ 0.785 です。

当たりから π へ

ダーツを N 本投げ、円の内側に入った当たりの数 H を数えます。割合 H/N は π/4 の推定値なので、

π ≈ 4H / N

です。当たりかどうかの判定に π はまったく必要ありません。中心から測り、半径を単位とした点 (x, y) は、x² + y² ≤ 1 のとき円の内側にあります。π は数えることから出てくるのです。

四分円版では、1辺が1の正方形の角に中心を置きます。四分円もその正方形の π/4 を占めるので、同じ式が成り立ちます。

大数の法則

ダーツの1本1本は、結果が2通りしかない小さな実験です。確率 p = π/4 で当たり、それ以外は外れです。ヤコブ・ベルヌーイが証明し、1713年に出版された大数の法則は、N が大きくなるにつれて当たりの割合がいくらでも p に近づくことを示しています。ただし、短期間で当たりと外れが釣り合うとは言っていません。推定値は長いあいだ π から離れてさまよい、それから戻ってくることもあります。

どれくらい速いのか

当たりの数は二項分布に従います。その標準偏差を π の尺度に換算すると、典型的な誤差が得られます。

σ ≈ 4 · √(p(1 − p) / N) ≈ 1.64 / √N

100本後ならおよそ0.16、1万本後ならおよそ0.016、100万本後ならおよそ0.0016です。誤差は N の平方根に反比例して小さくなり、ダーツを100倍にして、やっと正しい桁が1つ増えます。アプリの影付きの帯は ±1.96σ で、すべての試行の95%を含みます。推定値の後ろの ± は標準誤差1つ分です。

名前の由来

1946年、病気から回復しつつあったスタニスワフ・ウラムは、ソリティアに勝てる確率はどれくらいだろうと考えました。ありうる配り方をすべて数える代わりに、単純にたくさんゲームをして勝った回数を数えればよいと思いついたのです。彼はジョン・フォン・ノイマンとともにこのアイデアをロスアラモスでの中性子計算の方法に仕上げ、同僚のニコラス・メトロポリスが、ウラムのおじが好んで賭け事をしたモンテカルロのカジノにちなんで名付けました。1777年のビュフォンの針のような、ずっと古い偶然の実験も、同じ精神ですでに π を推定していました。

PictorX で試す

モンテカルロ π を開くと、ダーツはすでに毎秒1,000本の速さで飛んでいます。カウンターは π と一致した桁に色を付け、グラフは試行の95%が収まる帯の中で、推定値を対数軸上に表示します。「スローモーション」は毎秒1本ずつダーツを投げ、中心までの距離を描きます。正方形をクリックすれば自分でダーツを投げられます。「100万本のダーツ」はすべてを一度に投げます。「四分円」は角を使う版に切り替え、「古いダーツを薄くする」は高速でも画面を見やすく保ちます。PNG を保存したり、落ちる針で π を推定するビュフォンの針と比べたりしてみましょう。