Metoda Monte Carlo și π

Ariile ca probabilități

Alege la întâmplare un punct într-un pătrat, fiecare loc fiind la fel de probabil. Probabilitatea ca el să cadă într-o anumită regiune este aria regiunii împărțită la aria pătratului. Un cerc de rază 1 are aria π, iar pătratul din jurul lui are latura 2 și aria 4. Așadar un punct aleatoriu cade în cerc cu probabilitatea P = π/4 ≈ 0,785.

De la lovituri la π

Aruncă N săgeți și numără loviturile H din cerc. Proporția H/N estimează π/4, deci

π ≈ 4H / N

Testul pentru o lovitură nu are nevoie deloc de π: un punct (x, y), măsurat de la centru cu raza ca unitate, se află în cerc când x² + y² ≤ 1. π iese din numărătoare.

Varianta cu sfert de cerc pune centrul într-un colț al unui pătrat de latură 1. Și sfertul de cerc acoperă π/4 din acest pătrat, așa că formula rămâne aceeași.

Legea numerelor mari

Fiecare săgeată este un mic experiment cu două rezultate: o lovitură, cu probabilitatea p = π/4, sau o ratare. Legea numerelor mari, demonstrată de Jacob Bernoulli și publicată în 1713, spune că proporția loviturilor se apropie oricât de mult de p pe măsură ce N crește. Ea nu spune că loviturile și ratările se echilibrează pe termen scurt: estimarea se poate îndepărta mult timp de π înainte să revină.

Cât de repede merge?

Numărul loviturilor urmează o distribuție binomială. Abaterea ei standard, raportată la scara lui π, dă eroarea tipică

σ ≈ 4 · √(p(1 − p) / N) ≈ 1.64 / √N

După 100 de săgeți aceasta este de aproximativ 0,16, după 10.000 de aproximativ 0,016, după un milion de aproximativ 0,0016. Eroarea scade cu rădăcina pătrată a lui N: de o sută de ori mai multe săgeți aduc încă o cifră corectă. În aplicație, banda umbrită este ±1,96σ, care cuprinde 95% din toate simulările, iar ± de după estimare este o eroare standard.

De unde vine numele

În 1946, Stanislaw Ulam, care se refăcea după o boală, s-a întrebat cât de probabil era să-i iasă o pasiență. În loc să numere toate împărțirile posibile ale cărților, s-a gândit să joace pur și simplu de multe ori și să numere reușitele. Împreună cu John von Neumann a transformat ideea într-o metodă pentru calculele cu neutroni de la Los Alamos, iar colegul lor Nicholas Metropolis a numit-o după cazinoul din Monte Carlo, unde unchiului lui Ulam îi plăcea să joace. Experimente mult mai vechi cu întâmplarea, precum acul lui Buffon din 1777, estimau deja π în același spirit.

Explorează-l în PictorX

Deschide π prin Monte Carlo și săgețile zboară deja, o mie pe secundă. Contorul colorează cifrele care se potrivesc deja cu π, iar graficul arată estimarea pe o axă logaritmică, în interiorul benzii în care ajung 95% din simulări. „Încetinit” aruncă o săgeată pe secundă și desenează distanța ei până la centru; dă clic pe pătrat ca să arunci tu o săgeată. „Un milion de săgeți” le aruncă pe toate deodată. „Sfert de cerc” trece la varianta din colț, iar „Estompează săgețile vechi” păstrează imaginea vie la viteză mare. Salvează un PNG sau compară cu acul lui Buffon, care estimează π cu ace care cad.