O método de Monte Carlo e π
O método de Monte Carlo responde a perguntas com experiências aleatórias em vez de fórmulas. O seu primeiro exemplo clássico estima π lançando dardos a um círculo dentro de um quadrado.
Áreas como probabilidades
Escolha um ponto ao acaso num quadrado, com todos os sítios igualmente prováveis. A probabilidade de cair numa dada região é a área dessa região a dividir pela área do quadrado. Um círculo de raio 1 tem área π, e o quadrado à sua volta tem lados de 2 e área 4. Assim, um ponto aleatório cai dentro do círculo com probabilidade P = π/4 ≈ 0,785.
Dos acertos a π
Lance N dardos e conte os acertos H dentro do círculo. A fração H/N estima π/4, por isso
π ≈ 4H / N
O teste de um acerto não precisa de π nenhum: um ponto (x, y), medido a partir do centro com o raio como unidade, está dentro do círculo quando x² + y² ≤ 1. O π sai da contagem.
A versão do quarto de círculo põe o centro num canto de um quadrado de lado 1. O quarto de círculo também cobre π/4 desse quadrado, por isso a mesma fórmula é válida.
A lei dos grandes números
Cada dardo é uma pequena experiência com dois resultados: um acerto, com probabilidade p = π/4, ou uma falha. A lei dos grandes números, demonstrada por Jacob Bernoulli e publicada em 1713, diz que a fração de acertos se aproxima tanto quanto se queira de p à medida que N cresce. Não diz que acertos e falhas se compensam a curto prazo: a estimativa pode afastar-se de π durante muito tempo antes de voltar.
Quão rápido é?
O número de acertos segue uma distribuição binomial. O seu desvio-padrão, convertido para a escala de π, dá o erro típico
σ ≈ 4 · √(p(1 − p) / N) ≈ 1.64 / √N
Após 100 dardos, isso dá cerca de 0,16; após 10 000, cerca de 0,016; após um milhão, cerca de 0,0016. O erro diminui com a raiz quadrada de N: cem vezes mais dardos dão mais um algarismo correto. Na aplicação, a faixa sombreada é ±1,96σ, que contém 95% de todas as simulações, e o ± depois da estimativa é um erro-padrão.
De onde vem o nome
Em 1946, Stanislaw Ulam, que recuperava de uma doença, perguntou-se qual seria a probabilidade de ganhar um jogo de paciência. Em vez de contar todas as distribuições de cartas possíveis, pensou em simplesmente jogar muitas partidas e contar as vitórias. Com John von Neumann, transformou a ideia num método para os cálculos de neutrões em Los Alamos, e o colega Nicholas Metropolis deu-lhe o nome do casino de Monte Carlo, onde o tio de Ulam gostava de jogar. Experiências com o acaso muito mais antigas, como a agulha de Buffon de 1777, já estimavam π com o mesmo espírito.
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Abra π por Monte Carlo e os dardos já estão a voar, mil por segundo. O contador pinta os algarismos que já coincidem com π, e o gráfico mostra a estimativa num eixo logarítmico dentro da faixa onde acabam 95% das simulações. «Câmara lenta» lança um dardo por segundo e desenha a sua distância ao centro; clique no quadrado para lançar um dardo à mão. «Um milhão de dardos» lança-os todos de uma vez. «Quarto de círculo» muda para a versão do canto, e «Esbater os dardos antigos» mantém a imagem viva a alta velocidade. Guarde um PNG ou compare com a agulha de Buffon, que estima π com agulhas a cair.
Perguntas frequentes
Quem inventou o método de Monte Carlo?
Stanislaw Ulam e John von Neumann desenvolveram-no no final dos anos 1940 em Los Alamos, e Nicholas Metropolis deu-lhe o nome. As experiências aleatórias que estimam números são mais antigas, por exemplo a agulha de Buffon de 1777.
Porque é que a probabilidade é π/4?
Um círculo de raio 1 tem área π, e o quadrado à sua volta tem área 4. Um ponto com a mesma probabilidade de cair em qualquer sítio do quadrado cai no círculo com probabilidade π/4.
Quão precisa é a estimativa?
Um erro-padrão é cerca de 1,64/√N para N dardos. Com mil dardos, a diferença típica é de cerca de 0,05; com um milhão, de cerca de 0,0016.
O método de Monte Carlo é uma boa forma de calcular π?
Não. As fórmulas já calcularam milhões de milhões de algarismos de π; os dardos aleatórios têm dificuldade em chegar a seis. O método brilha onde não existe fórmula, como nas trajetórias dos neutrões, no risco de um investimento ou na luz a ressaltar numa cena.
A estimativa chega alguma vez exatamente a π?
Não. Após N dardos, a estimativa é uma fração 4H/N, e π é irracional, por isso nunca pode ser exata. Apenas se aproxima, com uma probabilidade cada vez maior.
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