मोंटे कार्लो विधि और π

प्रायिकता के रूप में क्षेत्रफल

एक वर्ग में यादृच्छिक रूप से एक बिंदु चुनें, जहाँ हर जगह की संभावना बराबर हो। उसके किसी क्षेत्र में गिरने की प्रायिकता उस क्षेत्र के क्षेत्रफल को वर्ग के क्षेत्रफल से भाग देने पर मिलती है। त्रिज्या 1 वाले वृत्त का क्षेत्रफल π है, और उसके चारों ओर के वर्ग की भुजा 2 और क्षेत्रफल 4 है। इसलिए एक यादृच्छिक बिंदु P = π/4 ≈ 0.785 प्रायिकता से वृत्त के अंदर गिरता है।

हिट से π तक

N डार्ट फेंकें और वृत्त के अंदर के हिट H गिनें। हिस्सा H/N, π/4 का अनुमान देता है, इसलिए

π ≈ 4H / N

हिट की जाँच के लिए π की बिल्कुल ज़रूरत नहीं: केंद्र से नापा गया बिंदु (x, y), जिसमें त्रिज्या इकाई है, x² + y² ≤ 1 होने पर वृत्त के अंदर होता है। π गिनती से निकलता है।

चौथाई वृत्त वाला संस्करण केंद्र को भुजा 1 वाले वर्ग के एक कोने में रखता है। चौथाई वृत्त भी उस वर्ग का π/4 हिस्सा घेरता है, इसलिए वही सूत्र लागू होता है।

बड़ी संख्याओं का नियम

हर डार्ट दो परिणामों वाला एक छोटा प्रयोग है: p = π/4 प्रायिकता से हिट, या चूक। बड़ी संख्याओं का नियम, जिसे जैकब बर्नूली ने सिद्ध किया और जो 1713 में प्रकाशित हुआ, कहता है कि N बढ़ने पर हिट का हिस्सा p के मनचाहे रूप से क़रीब पहुँच जाता है। यह नहीं कहता कि कम समय में हिट और चूक बराबर हो जाते हैं: अनुमान लौटने से पहले लंबे समय तक π से दूर भटक सकता है।

यह कितना तेज़ है?

हिट की संख्या द्विपद बंटन का पालन करती है। इसका मानक विचलन, π के पैमाने पर बदलने पर, सामान्य त्रुटि देता है

σ ≈ 4 · √(p(1 − p) / N) ≈ 1.64 / √N

100 डार्ट के बाद यह लगभग 0.16 है, 10,000 के बाद लगभग 0.016, दस लाख के बाद लगभग 0.0016। त्रुटि N के वर्गमूल के साथ घटती है: सौ गुना डार्ट से एक और सही अंक मिलता है। ऐप में छायांकित पट्टी ±1.96σ है, जो सभी प्रयोगों में से 95% को समेटती है, और अनुमान के बाद का ± एक मानक त्रुटि है।

नाम कहाँ से आया

1946 में बीमारी से उबर रहे स्टानिस्लाव उलम ने सोचा कि सॉलिटेयर का एक खेल जीतने की संभावना कितनी है। सभी संभावित बँटवारे गिनने के बजाय, उन्होंने सोचा कि बस बहुत से खेल खेलकर जीतें गिन ली जाएँ। जॉन वॉन न्यूमैन के साथ मिलकर उन्होंने इस विचार को लॉस एलामोस में न्यूट्रॉन गणनाओं की एक विधि बना दिया, और उनके सहयोगी निकोलस मेट्रोपोलिस ने इसका नाम मोंटे कार्लो कसीनो पर रखा, जहाँ उलम के चाचा जुआ खेलना पसंद करते थे। संयोग के कहीं पुराने प्रयोग, जैसे 1777 की बफ़न की सुई, इसी भावना से पहले ही π का अनुमान लगा चुके थे।

PictorX में आज़माएँ

मोंटे कार्लो π खोलें, और डार्ट पहले से उड़ रहे होते हैं, हर सेकंड एक हज़ार। काउंटर उन अंकों को रंग देता है जो पहले से π से मेल खाते हैं, और चार्ट अनुमान को एक लघुगणकीय अक्ष पर उस पट्टी के अंदर दिखाता है जहाँ 95% प्रयोग पहुँचते हैं। "धीमी गति" हर सेकंड एक डार्ट फेंकता है और केंद्र से उसकी दूरी दिखाता है; खुद डार्ट फेंकने के लिए वर्ग पर क्लिक करें। "दस लाख डार्ट" सबको एक साथ फेंकता है। "चौथाई वृत्त" कोने वाले संस्करण पर ले जाता है, और "पुराने डार्ट धुंधले करें" तेज़ गति पर भी तस्वीर को जीवंत रखता है। PNG सहेजें, या बफ़न की सुई से तुलना करें, जो गिरती सुइयों से π का अनुमान लगाती है।