À propos de la méthode de Monte-Carlo | Estimer π avec des nombres aléatoires

Des aires comme probabilités

Choisissez un point au hasard dans un carré, chaque endroit ayant la même chance. La probabilité qu’il tombe dans une certaine région est l’aire de cette région divisée par l’aire du carré. Un cercle de rayon 1 a une aire de π, et le carré qui l’entoure a des côtés de 2 et une aire de 4. Un point aléatoire tombe donc dans le cercle avec une probabilité P = π/4 ≈ 0,785.

Du comptage à π

Lancez N fléchettes et comptez les fléchettes H tombées dans le cercle. La part H/N estime π/4, donc

π ≈ 4H / N

Pour savoir si une fléchette est dedans, on n’a besoin d’aucun π : un point (x, y), mesuré depuis le centre avec le rayon pour unité, est dans le cercle lorsque x² + y² ≤ 1. Le π sort du comptage.

La version en quart de cercle place le centre dans un coin d’un carré de côté 1. Le quart de cercle couvre lui aussi π/4 de ce carré, donc la même formule s’applique.

La loi des grands nombres

Chaque fléchette est une petite expérience à deux issues : dedans, avec la probabilité p = π/4, ou dehors. La loi des grands nombres, démontrée par Jacob Bernoulli et publiée en 1713, dit que la part des fléchettes dedans s’approche autant qu’on veut de p quand N augmente. Elle ne dit pas que les fléchettes dedans et dehors se compensent à court terme : l’estimation peut s’éloigner longtemps de π avant d’y revenir.

À quelle vitesse ?

Le nombre de fléchettes dedans suit une loi binomiale. Son écart type, ramené à l’échelle de π, donne l’erreur typique

σ ≈ 4 · √(p(1 − p) / N) ≈ 1.64 / √N

Après 100 fléchettes, cela fait environ 0,16 ; après 10 000, environ 0,016 ; après un million, environ 0,0016. L’erreur diminue avec la racine carrée de N : cent fois plus de fléchettes apportent un chiffre exact de plus. Dans l’application, la bande ombrée couvre ±1,96σ et contient 95 % de toutes les simulations, et le ± après l’estimation est une erreur type.

D’où vient le nom

En 1946, Stanislaw Ulam, qui se remettait d’une maladie, se demanda quelle était la probabilité de gagner une partie de solitaire. Plutôt que de compter toutes les donnes possibles, il eut l’idée de jouer simplement de nombreuses parties et de compter les victoires. Avec John von Neumann, il en fit une méthode pour les calculs sur les neutrons à Los Alamos, et leur collègue Nicholas Metropolis la baptisa du nom du casino de Monte-Carlo, où l’oncle d’Ulam aimait jouer. Des expériences de hasard bien plus anciennes, comme l’aiguille de Buffon de 1777, estimaient déjà π dans le même esprit.

L’explorer dans PictorX

Ouvrez π par Monte-Carlo : les fléchettes volent déjà, mille par seconde. Le compteur colore les chiffres qui concordent déjà avec π, et le graphique montre l’estimation sur un axe logarithmique, dans la bande où aboutissent 95 % des simulations. « Ralenti » lance une fléchette par seconde et trace sa distance au centre ; cliquez sur le carré pour lancer vous-même une fléchette. « Un million de fléchettes » les lance toutes d’un coup. « Quart de cercle » passe à la version dans le coin, et « Estomper les anciennes fléchettes » garde l’image vivante à grande vitesse. Enregistrez un PNG, ou comparez avec l’aiguille de Buffon, qui estime π avec des aiguilles qui tombent.

Questions fréquemment posées

Qui a inventé la méthode de Monte-Carlo ?

Stanislaw Ulam et John von Neumann l’ont mise au point à la fin des années 1940 à Los Alamos, et Nicholas Metropolis lui a donné son nom. Les expériences aléatoires qui estiment des nombres sont plus anciennes, par exemple l’aiguille de Buffon de 1777.

Pourquoi la probabilité vaut-elle π/4 ?

Un cercle de rayon 1 a une aire de π, et le carré qui l’entoure une aire de 4. Un point qui a autant de chances de tomber n’importe où dans le carré tombe dans le cercle avec une probabilité de π/4.

Quelle est la précision de l’estimation ?

Une erreur type vaut environ 1,64/√N pour N fléchettes. Avec mille fléchettes, on est typiquement à environ 0,05 près ; avec un million, à environ 0,0016 près.

La méthode de Monte-Carlo est-elle un bon moyen de calculer π ?

Non. Des formules ont calculé des milliers de milliards de décimales de π ; les fléchettes aléatoires peinent à en obtenir six. La méthode brille là où aucune formule n’existe : le trajet des neutrons, le risque d’un placement ou la lumière qui rebondit dans une scène.

L’estimation atteint-elle un jour exactement π ?

Non. Après N fléchettes, l’estimation est une fraction 4H/N, et π est irrationnel : elle ne peut donc jamais être exacte. Elle s’en approche seulement, avec une probabilité toujours plus grande.