طريقة مونت كارلو وπ

المساحات بوصفها احتمالات

اختر نقطة عشوائية في مربع، بحيث يتساوى احتمال كل موضع. احتمال أن تقع في منطقة ما هو مساحة تلك المنطقة مقسومة على مساحة المربع. مساحة دائرة نصف قطرها 1 هي π، والمربع المحيط بها طول ضلعه 2 ومساحته 4. لذا تقع نقطة عشوائية داخل الدائرة باحتمال P = π/4 ≈ 0.785.

من الإصابات إلى π

ارمِ N سهمًا وعُدّ الإصابات H داخل الدائرة. النسبة H/N تقدّر π/4، لذا

π ≈ 4H / N

ولا يحتاج اختبار الإصابة إلى π إطلاقًا: النقطة (x, y)، مقيسة من المركز ونصف القطر هو الوحدة، تقع داخل الدائرة عندما x² + y² ≤ 1. أما π فتخرج من العدّ.

وتضع نسخة ربع الدائرة المركز في إحدى زوايا مربع طول ضلعه 1. ويغطي ربع الدائرة أيضًا π/4 من ذلك المربع، لذا تصح الصيغة نفسها.

قانون الأعداد الكبيرة

كل سهم تجربة صغيرة لها نتيجتان: إصابة باحتمال p = π/4، أو إخفاق. ويقول قانون الأعداد الكبيرة، الذي برهنه ياكوب برنولي ونُشر عام 1713، إن نسبة الإصابات تقترب من p بقدر ما نشاء كلما كبر N. لكنه لا يقول إن الإصابات والإخفاقات تتوازن على المدى القصير: فقد يبتعد التقدير عن π مدة طويلة قبل أن يعود.

ما سرعته؟

يتبع عدد الإصابات توزيعًا ذا حدين. وانحرافه المعياري، بعد تحويله إلى مقياس π، يعطي الخطأ النموذجي

σ ≈ 4 · √(p(1 − p) / N) ≈ 1.64 / √N

بعد 100 سهم يكون نحو 0.16، وبعد 10000 نحو 0.016، وبعد مليون نحو 0.0016. يتقلص الخطأ مع الجذر التربيعي لـ N: مئة ضعف من السهام تضيف رقمًا صحيحًا واحدًا. وفي التطبيق يمثل الشريط المظلل ±1.96σ، ويحتوي 95% من كل الجولات، أما ± بعد التقدير فهي خطأ معياري واحد.

من أين جاء الاسم

في عام 1946 كان ستانيسواف أولام يتعافى من مرض، فتساءل عن احتمال الفوز في لعبة سوليتير. وبدلًا من عدّ كل طرق توزيع الورق الممكنة، فكّر في أن يلعب ببساطة أدوارًا كثيرة ويعدّ مرات الفوز. ومع جون فون نيومان حوّل الفكرة إلى طريقة لحسابات النيوترونات في لوس ألاموس، وسمّاها زميلهما نيكولاس متروبوليس باسم كازينو مونت كارلو، حيث كان عمّ أولام يحب المقامرة. وقد قدّرت تجارب أقدم بكثير مع الصدفة، مثل إبرة بوفون عام 1777، قيمة π بالروح نفسها.

استكشفها في PictorX

افتح «π بطريقة مونت كارلو» فتجد السهام تطير بالفعل، ألف سهم في الثانية. يلوّن العدّاد الأرقام التي تطابق π بالفعل، ويعرض المخطط التقدير على محور لوغاريتمي داخل الشريط الذي تنتهي فيه 95% من الجولات. يرمي «حركة بطيئة» سهمًا واحدًا في الثانية ويرسم بُعده عن المركز؛ وانقر المربع لترمي سهمًا بنفسك. ويرمي «مليون سهم» السهام كلها دفعة واحدة. وينتقل «ربع دائرة» إلى نسخة الزاوية، ويُبقي «تلاشي السهام القديمة» الصورة حيوية في السرعات العالية. احفظ ملف PNG، أو قارن بإبرة بوفون التي تقدّر π بالإبر المتساقطة.