Monte Carlo-metoden och π

Areor som sannolikheter

Välj en slumpmässig punkt i en kvadrat, där varje ställe är lika sannolikt. Sannolikheten att den hamnar i ett visst område är områdets area delad med kvadratens area. En cirkel med radien 1 har arean π, och kvadraten runt den har sidan 2 och arean 4. En slumpmässig punkt hamnar alltså innanför cirkeln med sannolikheten P = π/4 ≈ 0,785.

Från träffar till π

Kasta N pilar och räkna träffarna H innanför cirkeln. Andelen H/N skattar π/4, så

π ≈ 4H / N

Testet för en träff behöver inget π alls: en punkt (x, y), mätt från medelpunkten med radien som enhet, ligger innanför cirkeln när x² + y² ≤ 1. π kommer fram ur räknandet.

I kvartscirkelversionen ligger medelpunkten i ett hörn av en kvadrat med sidan 1. Kvartscirkeln täcker också π/4 av den kvadraten, så samma formel gäller.

Stora talens lag

Varje pil är ett litet experiment med två utfall: en träff, med sannolikheten p = π/4, eller en miss. Stora talens lag, bevisad av Jacob Bernoulli och publicerad 1713, säger att andelen träffar kommer godtyckligt nära p när N växer. Den säger inte att träffar och missar jämnar ut sig på kort sikt: skattningen kan vandra bort från π länge innan den kommer tillbaka.

Hur snabbt går det?

Antalet träffar följer en binomialfördelning. Dess standardavvikelse, omräknad till π:s skala, ger det typiska felet

σ ≈ 4 · √(p(1 − p) / N) ≈ 1.64 / √N

Efter 100 pilar är det ungefär 0,16, efter 10 000 ungefär 0,016 och efter en miljon ungefär 0,0016. Felet krymper med kvadratroten ur N: hundra gånger så många pilar ger en korrekt siffra till. I appen är det skuggade bandet ±1,96σ, vilket rymmer 95 % av alla körningar, och ± efter skattningen är ett standardfel.

Varifrån namnet kommer

År 1946 höll Stanislaw Ulam på att återhämta sig från en sjukdom och undrade hur troligt det var att få en patiens att gå ut. I stället för att räkna alla möjliga givar kom han på att helt enkelt lägga många patienser och räkna hur ofta de gick ut. Tillsammans med John von Neumann gjorde han idén till en metod för neutronberäkningarna i Los Alamos, och deras kollega Nicholas Metropolis döpte den efter kasinot i Monte Carlo, där Ulams farbror gärna spelade. Mycket äldre slumpexperiment, som Buffons nål från 1777, skattade redan π i samma anda.

Utforska det i PictorX

Öppna Monte Carlo-π, så flyger pilarna redan, tusen i sekunden. Räknaren färgar siffrorna som redan stämmer med π, och diagrammet visar skattningen på en logaritmisk axel inom bandet där 95 % av körningarna hamnar. ”Slow motion” kastar en pil i sekunden och ritar dess avstånd till medelpunkten; klicka på kvadraten för att själv kasta en pil. ”En miljon pilar” kastar alla på en gång. ”Kvartscirkel” byter till hörnversionen, och ”Tona ut gamla pilar” håller bilden livlig i hög fart. Spara en PNG eller jämför med Buffons nål, som skattar π med fallande nålar.