Phương pháp Monte Carlo và π

Diện tích như xác suất

Chọn ngẫu nhiên một điểm trong hình vuông, mọi vị trí đều có khả năng như nhau. Xác suất để điểm rơi vào một vùng nào đó bằng diện tích vùng đó chia cho diện tích hình vuông. Hình tròn bán kính 1 có diện tích π, còn hình vuông bao quanh có cạnh 2 và diện tích 4. Vậy một điểm ngẫu nhiên rơi vào trong hình tròn với xác suất P = π/4 ≈ 0,785.

Từ số lần trúng đến π

Phóng N phi tiêu và đếm số lần trúng H bên trong hình tròn. Tỉ lệ H/N ước lượng π/4, nên

π ≈ 4H / N

Việc kiểm tra trúng hay không hoàn toàn không cần đến π: một điểm (x, y), đo từ tâm với bán kính làm đơn vị, nằm trong hình tròn khi x² + y² ≤ 1. π xuất hiện từ việc đếm.

Phiên bản một phần tư hình tròn đặt tâm ở một góc của hình vuông cạnh 1. Một phần tư hình tròn cũng chiếm π/4 hình vuông đó, nên công thức vẫn giữ nguyên.

Luật số lớn

Mỗi phi tiêu là một thí nghiệm nhỏ có hai kết quả: trúng, với xác suất p = π/4, hoặc trượt. Luật số lớn, được Jacob Bernoulli chứng minh và công bố năm 1713, nói rằng tỉ lệ trúng tiến gần p tùy ý khi N tăng. Luật này không nói rằng trúng và trượt sẽ bù trừ nhau trong ngắn hạn: ước lượng có thể đi xa khỏi π trong thời gian dài trước khi quay lại.

Nhanh đến mức nào?

Số lần trúng tuân theo phân phối nhị thức. Độ lệch chuẩn của nó, quy đổi sang thang đo của π, cho sai số điển hình

σ ≈ 4 · √(p(1 − p) / N) ≈ 1.64 / √N

Sau 100 phi tiêu, con số đó khoảng 0,16, sau 10.000 khoảng 0,016, sau một triệu khoảng 0,0016. Sai số giảm theo căn bậc hai của N: gấp trăm lần số phi tiêu mới được thêm một chữ số đúng. Trong ứng dụng, dải tô bóng là ±1,96σ, chứa 95% tổng số lượt chạy, còn dấu ± sau ước lượng là một sai số chuẩn.

Nguồn gốc cái tên

Năm 1946, khi đang hồi phục sau một trận ốm, Stanislaw Ulam tự hỏi khả năng thắng một ván bài solitaire là bao nhiêu. Thay vì đếm mọi cách chia bài có thể, ông nghĩ đến việc đơn giản là chơi thật nhiều ván rồi đếm số ván thắng. Cùng John von Neumann, ông biến ý tưởng đó thành một phương pháp cho các phép tính neutron ở Los Alamos, và đồng nghiệp của họ là Nicholas Metropolis đặt tên cho nó theo sòng bạc Monte Carlo, nơi người chú của Ulam thích đánh bạc. Những thí nghiệm với sự ngẫu nhiên cổ xưa hơn nhiều, như kim Buffon năm 1777, đã ước lượng π theo cùng tinh thần đó.

Khám phá trong PictorX

Mở π Monte Carlo và phi tiêu đã bay sẵn, một nghìn chiếc mỗi giây. Bộ đếm tô màu những chữ số đã khớp với π, còn biểu đồ hiển thị ước lượng trên trục logarit, bên trong dải mà 95% lượt chạy rơi vào. "Chuyển động chậm" phóng một phi tiêu mỗi giây và vẽ khoảng cách của nó tới tâm; nhấp vào hình vuông để tự phóng một phi tiêu. "Một triệu phi tiêu" phóng tất cả cùng lúc. "Một phần tư hình tròn" chuyển sang phiên bản ở góc, còn "Làm mờ phi tiêu cũ" giữ cho hình ảnh sinh động ở tốc độ cao. Lưu thành PNG, hoặc so sánh với kim Buffon, phương pháp ước lượng π bằng những cây kim rơi.