Metode Monte Carlo dan π

Luas sebagai peluang

Pilih satu titik secara acak di dalam persegi, dengan setiap tempat berpeluang sama. Peluang titik itu jatuh di suatu daerah adalah luas daerah itu dibagi luas persegi. Lingkaran berjari-jari 1 memiliki luas π, dan persegi di sekelilingnya bersisi 2 dengan luas 4. Jadi titik acak jatuh di dalam lingkaran dengan peluang P = π/4 ≈ 0,785.

Dari yang kena ke π

Lempar N anak panah dan hitung yang kena, H, di dalam lingkaran. Bagian H/N memperkirakan π/4, jadi

π ≈ 4H / N

Uji kena atau tidak sama sekali tidak memerlukan π: titik (x, y), diukur dari pusat dengan jari-jari sebagai satuan, berada di dalam lingkaran jika x² + y² ≤ 1. π muncul dari penghitungan.

Versi seperempat lingkaran meletakkan pusat di salah satu sudut persegi bersisi 1. Seperempat lingkaran itu juga menutupi π/4 dari persegi tersebut, sehingga rumus yang sama berlaku.

Hukum bilangan besar

Setiap anak panah adalah percobaan kecil dengan dua hasil: kena, dengan peluang p = π/4, atau meleset. Hukum bilangan besar, yang dibuktikan oleh Jacob Bernoulli dan diterbitkan pada tahun 1713, menyatakan bahwa bagian yang kena mendekati p sedekat apa pun seiring N bertambah. Hukum ini tidak mengatakan bahwa yang kena dan yang meleset akan seimbang dalam waktu singkat: estimasi bisa menjauh dari π untuk waktu lama sebelum kembali.

Seberapa cepat?

Jumlah yang kena mengikuti distribusi binomial. Simpangan bakunya, diubah ke skala π, memberi galat khas

σ ≈ 4 · √(p(1 − p) / N) ≈ 1.64 / √N

Setelah 100 anak panah nilainya sekitar 0,16, setelah 10.000 sekitar 0,016, setelah sejuta sekitar 0,0016. Galat menyusut seiring akar kuadrat N: anak panah seratus kali lebih banyak memberi satu digit benar tambahan. Di aplikasi, pita berbayang adalah ±1,96σ, yang memuat 95% dari semua percobaan, dan ± di belakang estimasi adalah satu galat baku.

Asal-usul nama

Pada tahun 1946, Stanislaw Ulam, yang sedang pulih dari sakit, bertanya-tanya seberapa besar peluang memenangi permainan solitaire. Alih-alih menghitung semua kemungkinan pembagian kartu, ia terpikir untuk sekadar memainkan banyak permainan dan menghitung kemenangannya. Bersama John von Neumann ia mengubah gagasan itu menjadi metode untuk perhitungan neutron di Los Alamos, dan rekan mereka Nicholas Metropolis menamainya menurut kasino Monte Carlo, tempat paman Ulam gemar berjudi. Percobaan dengan kebetulan yang jauh lebih tua, seperti jarum Buffon dari tahun 1777, sudah memperkirakan π dengan semangat yang sama.

Jelajahi di PictorX

Buka π Monte Carlo dan anak panah sudah beterbangan, seribu per detik. Penghitung mewarnai digit yang sudah cocok dengan π, dan grafik menampilkan estimasi pada sumbu logaritmik di dalam pita tempat 95% percobaan berakhir. "Gerak lambat" melempar satu anak panah per detik dan menggambar jaraknya ke pusat; klik persegi untuk melempar anak panah sendiri. "Sejuta anak panah" melempar semuanya sekaligus. "Seperempat lingkaran" beralih ke versi sudut, dan "Pudarkan anak panah lama" menjaga gambar tetap hidup pada kecepatan tinggi. Simpan PNG, atau bandingkan dengan jarum Buffon, yang memperkirakan π dengan jarum yang berjatuhan.