Il metodo Monte Carlo e π

Aree come probabilità

Scegli un punto a caso in un quadrato, con ogni posizione ugualmente probabile. La probabilità che cada in una certa regione è l’area della regione divisa per l’area del quadrato. Un cerchio di raggio 1 ha area π, e il quadrato che lo circonda ha lati di 2 e area 4. Quindi un punto casuale cade nel cerchio con probabilità P = π/4 ≈ 0,785.

Dai colpi a segno a π

Lancia N freccette e conta i colpi a segno H dentro il cerchio. La quota H/N stima π/4, quindi

π ≈ 4H / N

Il test per un colpo a segno non ha bisogno di π: un punto (x, y), misurato dal centro con il raggio come unità, è dentro il cerchio quando x² + y² ≤ 1. Il π esce dal conteggio.

La versione con il quarto di cerchio mette il centro in un angolo di un quadrato di lato 1. Anche il quarto di cerchio copre π/4 di quel quadrato, quindi vale la stessa formula.

La legge dei grandi numeri

Ogni freccetta è un piccolo esperimento con due esiti: un colpo a segno, con probabilità p = π/4, o un tiro a vuoto. La legge dei grandi numeri, dimostrata da Jacob Bernoulli e pubblicata nel 1713, dice che la quota di colpi a segno si avvicina quanto si vuole a p al crescere di N. Non dice che colpi a segno e tiri a vuoto si compensano nel breve periodo: la stima può allontanarsi da π per molto tempo prima di tornare.

Quanto è veloce?

Il numero di colpi a segno segue una distribuzione binomiale. La sua deviazione standard, riportata sulla scala di π, dà l’errore tipico

σ ≈ 4 · √(p(1 − p) / N) ≈ 1.64 / √N

Dopo 100 freccette è circa 0,16, dopo 10.000 circa 0,016, dopo un milione circa 0,0016. L’errore si riduce con la radice quadrata di N: cento volte tante freccette danno una cifra esatta in più. Nell’app la fascia ombreggiata è ±1,96σ, che contiene il 95% di tutte le simulazioni, e il ± dopo la stima è un errore standard.

Da dove viene il nome

Nel 1946 Stanislaw Ulam, mentre si riprendeva da una malattia, si chiese quanto fosse probabile vincere un solitario. Invece di contare tutte le possibili distribuzioni delle carte, pensò di giocare semplicemente molte partite e contare le vittorie. Con John von Neumann trasformò l’idea in un metodo per i calcoli sui neutroni a Los Alamos, e il loro collega Nicholas Metropolis lo chiamò come il casinò di Monte Carlo, dove lo zio di Ulam amava giocare d’azzardo. Esperimenti con il caso molto più antichi, come l’ago di Buffon del 1777, stimavano già π con lo stesso spirito.

Esploralo in PictorX

Apri π con Monte Carlo e le freccette stanno già volando, mille al secondo. Il contatore colora le cifre che coincidono già con π, e il grafico mostra la stima su un asse logaritmico dentro la fascia in cui finisce il 95% delle simulazioni. «Rallentatore» lancia una freccetta al secondo e ne disegna la distanza dal centro; fai clic sul quadrato per lanciare tu una freccetta. «Un milione di freccette» le lancia tutte in una volta. «Quarto di cerchio» passa alla versione nell’angolo, e «Sfuma le vecchie freccette» mantiene l’immagine vivace ad alta velocità. Salva un PNG o confrontalo con l’ago di Buffon, che stima π con aghi che cadono.