Monte Carlo yöntemi ve π

Olasılık olarak alanlar

Bir karenin içinde, her yerin eşit olasılıklı olduğu rastgele bir nokta seçin. Noktanın belirli bir bölgeye düşme olasılığı, o bölgenin alanının karenin alanına bölümüdür. Yarıçapı 1 olan bir dairenin alanı π’dir; onu çevreleyen karenin kenarı 2, alanı 4’tür. Dolayısıyla rastgele bir nokta P = π/4 ≈ 0,785 olasılıkla dairenin içine düşer.

İsabetlerden π’ye

N ok atın ve dairenin içindeki H isabeti sayın. H/N oranı π/4’ü tahmin eder, bu yüzden

π ≈ 4H / N

olur. İsabet testi için π’ye hiç gerek yoktur: merkezden ölçülen ve birim olarak yarıçapı kullanan bir (x, y) noktası, x² + y² ≤ 1 olduğunda dairenin içindedir. π, saymanın sonucunda ortaya çıkar.

Çeyrek daire sürümü merkezi, kenarı 1 olan bir karenin köşesine koyar. Çeyrek daire de bu karenin π/4’ünü kaplar, dolayısıyla aynı formül geçerlidir.

Büyük sayılar yasası

Her ok, iki sonucu olan küçük bir deneydir: p = π/4 olasılıkla isabet ya da ıska. Jacob Bernoulli tarafından kanıtlanıp 1713’te yayımlanan büyük sayılar yasası, N büyüdükçe isabet oranının p’ye istenildiği kadar yaklaştığını söyler. İsabetlerin ve ıskaların kısa vadede dengelendiğini söylemez: tahmin geri dönmeden önce uzun süre π’den uzaklaşabilir.

Ne kadar hızlı?

İsabet sayısı binom dağılımına uyar. Bunun standart sapması, π ölçeğine çevrildiğinde tipik hatayı verir:

σ ≈ 4 · √(p(1 − p) / N) ≈ 1.64 / √N

100 oktan sonra bu yaklaşık 0,16, 10.000 oktan sonra yaklaşık 0,016, bir milyon oktan sonra yaklaşık 0,0016’dır. Hata N’nin kareköküyle küçülür: yüz kat fazla ok bir doğru basamak daha kazandırır. Uygulamadaki gölgeli bant ±1,96σ’dır ve tüm denemelerin %95’ini içerir; tahminin ardındaki ± ise bir standart hatadır.

Adı nereden geliyor?

1946’da bir hastalıktan iyileşmekte olan Stanislaw Ulam, bir pasiyansı açmanın ne kadar olası olduğunu merak etti. Tüm olası dağıtımları saymak yerine, basitçe çok sayıda oyun oynayıp kazanılanları saymayı düşündü. John von Neumann ile birlikte bu fikri Los Alamos’taki nötron hesapları için bir yönteme dönüştürdü; meslektaşları Nicholas Metropolis de yönteme, Ulam’ın amcasının kumar oynamayı sevdiği Monte Carlo kumarhanesinin adını verdi. 1777 tarihli Buffon iğnesi gibi çok daha eski rastlantı deneyleri, π’yi zaten aynı anlayışla tahmin ediyordu.

PictorX’te keşfedin

Monte Carlo ile π’yi açın; oklar çoktan uçmaya başlamıştır, saniyede bin tane. Sayaç, π ile zaten uyuşan basamakları renklendirir; grafik ise tahmini, denemelerin %95’inin vardığı bandın içinde logaritmik bir eksende gösterir. “Ağır çekim” saniyede bir ok atar ve okun merkeze uzaklığını çizer; kendiniz ok atmak için kareye tıklayın. “Bir milyon ok” hepsini birden atar. “Çeyrek daire” köşe sürümüne geçer, “Eski okları soldur” ise yüksek hızda görüntüyü canlı tutar. PNG olarak kaydedin ya da π’yi düşen iğnelerle tahmin eden Buffon iğnesiyle karşılaştırın.