Over de Monte-Carlomethode | π schatten met toevalsgetallen

Oppervlakten als kansen

Kies willekeurig een punt in een vierkant, waarbij elke plek even waarschijnlijk is. De kans dat het in een bepaald gebied landt, is de oppervlakte van dat gebied gedeeld door de oppervlakte van het vierkant. Een cirkel met straal 1 heeft oppervlakte π, en het vierkant eromheen heeft zijden van 2 en oppervlakte 4. Een willekeurig punt landt dus met kans P = π/4 ≈ 0,785 in de cirkel.

Van treffers naar π

Gooi N pijltjes en tel de treffers H in de cirkel. Het deel H/N schat π/4, dus

π ≈ 4H / N

De test voor een treffer heeft helemaal geen π nodig: een punt (x, y), gemeten vanaf het middelpunt met de straal als eenheid, ligt in de cirkel als x² + y² ≤ 1. De π komt uit het tellen.

De kwartcirkelversie legt het middelpunt in een hoek van een vierkant met zijde 1. Ook de kwartcirkel bedekt π/4 van dat vierkant, dus geldt dezelfde formule.

De wet van de grote aantallen

Elk pijltje is een klein experiment met twee uitkomsten: een treffer, met kans p = π/4, of een misser. De wet van de grote aantallen, bewezen door Jacob Bernoulli en gepubliceerd in 1713, zegt dat het deel treffers willekeurig dicht bij p komt naarmate N groeit. Ze zegt niet dat treffers en missers elkaar op korte termijn compenseren: de schatting kan lang van π af dwalen voordat ze terugkomt.

Hoe snel gaat het?

Het aantal treffers volgt een binomiale verdeling. De standaardafwijking daarvan, omgerekend naar de schaal van π, geeft de typische fout

σ ≈ 4 · √(p(1 − p) / N) ≈ 1.64 / √N

Na 100 pijltjes is dat ongeveer 0,16, na 10.000 ongeveer 0,016, na een miljoen ongeveer 0,0016. De fout krimpt met de wortel uit N: honderd keer zoveel pijltjes leveren één juist cijfer meer op. In de app is de gearceerde band ±1,96σ, die 95% van alle simulaties bevat, en de ± achter de schatting is één standaardfout.

Waar de naam vandaan komt

In 1946 herstelde Stanislaw Ulam van een ziekte en vroeg hij zich af hoe groot de kans was om een spelletje patience te winnen. In plaats van alle mogelijke kaartverdelingen te tellen, bedacht hij dat hij gewoon veel spelletjes kon spelen en de overwinningen kon tellen. Met John von Neumann maakte hij van het idee een methode voor de neutronenberekeningen in Los Alamos, en hun collega Nicholas Metropolis noemde die naar het casino van Monte Carlo, waar Ulams oom graag gokte. Veel oudere toevalsexperimenten, zoals de naald van Buffon uit 1777, schatten π al in dezelfde geest.

Ontdek het in PictorX

Open Monte-Carlo-π en de pijltjes vliegen al, duizend per seconde. De teller kleurt de cijfers die al met π overeenkomen, en de grafiek toont de schatting op een logaritmische as binnen de band waarin 95% van de simulaties eindigt. ‘Slow motion’ gooit één pijltje per seconde en tekent de afstand tot het middelpunt; klik op het vierkant om zelf een pijltje te gooien. ‘Een miljoen pijltjes’ gooit ze allemaal tegelijk. ‘Kwartcirkel’ schakelt over naar de versie in de hoek, en ‘Oude pijltjes laten vervagen’ houdt het beeld levendig bij hoge snelheid. Sla een PNG op, of vergelijk met de naald van Buffon, die π schat met vallende naalden.

Veelgestelde vragen

Wie heeft de Monte-Carlomethode uitgevonden?

Stanislaw Ulam en John von Neumann ontwikkelden haar eind jaren 1940 in Los Alamos, en Nicholas Metropolis gaf haar de naam. Toevalsexperimenten die getallen schatten zijn ouder, bijvoorbeeld de naald van Buffon uit 1777.

Waarom is de kans π/4?

Een cirkel met straal 1 heeft oppervlakte π, en het vierkant eromheen heeft oppervlakte 4. Een punt dat overal in het vierkant even waarschijnlijk landt, komt met kans π/4 in de cirkel terecht.

Hoe nauwkeurig is de schatting?

Eén standaardfout is ongeveer 1,64/√N bij N pijltjes. Bij duizend pijltjes zit je doorgaans zo’n 0,05 ernaast, bij een miljoen pijltjes zo’n 0,0016.

Is de Monte-Carlomethode een goede manier om π te berekenen?

Nee. Met formules zijn biljoenen cijfers van π berekend; willekeurige pijltjes komen met moeite tot zes. De methode blinkt uit waar geen formule bestaat, zoals bij de banen van neutronen, het risico van een belegging of licht dat door een scène kaatst.

Bereikt de schatting ooit precies π?

Nee. Na N pijltjes is de schatting een breuk 4H/N, en π is irrationaal, dus ze kan nooit exact zijn. Ze komt alleen dichterbij, met een steeds grotere kans.