Về kim Buffon | Xác suất hình học và π

Sàn kẻ đường song song

Năm 1777, Georges-Louis Leclerc, bá tước Buffon, đặt ra một câu hỏi nghe như trò ảo thuật trong phòng khách. Một cây kim dài l rơi lên sàn kẻ các đường song song cách nhau d. Xác suất P để kim nằm vắt ngang một đường là bao nhiêu? Chỉ có hai yếu tố của cú rơi là ngẫu nhiên. Tâm kim có khả năng rơi vào bất kỳ chỗ nào giữa các đường như nhau, và kim có khả năng chỉ theo bất kỳ hướng nào như nhau. Trượt hình dọc theo các đường không làm thay đổi việc kim có cắt hay không, nên có thể bỏ qua vị trí dọc theo đường.

Kim ngắn

Đáp án kinh điển dành cho kim ngắn, tức kim không dài hơn khoảng cách: l ≤ d. Một cây kim như vậy chạm tối đa một đường, và xác suất để nó chạm là P = 2l / (πd) Một thiết lập tiện lợi là lấy kim dài bằng nửa khoảng cách, l = d/2. Khi đó P = 1/π, khoảng 0,318. Ít hơn một chút so với một trong ba lần thả là một lần cắt.

π đến từ đâu

Gọi x là khoảng cách từ tâm kim đến đường gần nhất. Khi đó x chạy từ 0 đến d/2. Gọi θ là góc giữa kim và các đường. Kim không có đầu cũng không có đuôi, nên θ chạy từ 0 đến π và nửa vòng quay đó đã bao gồm mọi hướng. Kim chạm tới đường khi x không lớn hơn hình chiếu của nửa cây kim: x ≤ (l/2) sin θ Mỗi cặp (θ, x) là một điểm trong hình chữ nhật rộng π và cao d/2. Các lần cắt là vùng nằm dưới đường sin. Với kim ngắn, đường cong này nằm gọn trong hình chữ nhật. Diện tích của nó là tích phân từ 0 đến π của (l/2) sin θ dθ, bằng l. Chia cho diện tích hình chữ nhật, π·d/2, ta được xác suất 2l/(πd). Số π trong công thức chính là bề rộng của trục góc.

Ước lượng π

Đảo ngược công thức và chính những lần thả đó sẽ ước lượng π: π ≈ 2l · N / (d · N_hit) N là số lần thả và N_hit là số lần kim cắt một đường. Với l = d/2 công thức đơn giản là π ≈ N / N_hit Đây là một ước lượng Monte Carlo: chọn ngẫu nhiên vị trí và góc, đếm số lần cắt, rồi chia. Sàn hiển thị các cây kim. Hình chữ nhật bên cạnh hiển thị chính những lần thả đó dưới dạng chấm, nằm dưới đường sin khi cắt và nằm trên khi không cắt.

Một thí nghiệm cần kiên nhẫn

Ước lượng này không chệch, nhưng chậm. Mỗi lần thả là một câu có hoặc không với xác suất gần 1/π, nên tỉ số dao động trong thời gian dài. Vài nghìn lần thả thường đủ để nhận ra những chữ số đầu là của π. Chữ số tiếp theo đòi hỏi số lần lớn hơn nhiều. Dấu ± cạnh kết quả là một sai số chuẩn của tỉ số đó, thước đo cho thấy một loạt thả dài chừng ấy thường vẫn còn cách giá trị thật bao xa. Kim Buffon là mối liên hệ trực tiếp giữa một sàn kẻ vạch và một đường tròn. Nó là một cỗ máy kém để tính các chữ số của π.

Khám phá trong PictorX

Mở kim Buffon và thí nghiệm nửa kim đã bắt đầu rơi: l/d = 0,50, nên kết quả là số lần thả chia cho số lần cắt. "Sàn và biểu đồ" hiển thị cùng lúc các tấm ván sàn và hình chữ nhật sin. Kéo trên sàn để đặt một cây kim bằng tay và đọc x cùng góc của nó. Cây kim đó được vẽ nhưng không được tính, nên ước lượng vẫn là một mẫu ngẫu nhiên. "Trọn khoảng cách" đặt l = d, khi đó π ≈ 2N / N_hit. "Kim ngắn" đặt l = d/4. "1.000 lần thả" thả một đợt rồi tạm dừng để bạn đọc ước lượng. Mục yêu thích "Biểu đồ sin" ẩn sàn và lấp đầy hình chữ nhật. Lưu thành PNG hoặc mở canvas trong trình chỉnh sửa PictorX. Kết hợp với xoắn ốc Ulam hoặc giả thuyết Collatz để xem thêm toán học sống động.

Hỏi thường xuyên

Ai đặt ra bài toán cây kim Buffon?

Georges-Louis Leclerc, bá tước Buffon, vào năm 1777. Đây là một trong những bài toán đầu tiên của xác suất hình học.

Khi nào kim cắt một đường?

Khi khoảng cách x từ tâm kim đến đường gần nhất không quá (l/2) sin θ. Ở đây θ là góc giữa kim và các đường, từ 0 đến π.

Vì sao đáp số có π?

Hướng của kim là một góc. Mọi cách rơi có thể lấp đầy một hình chữ nhật rộng π và cao d/2, còn các lần cắt là diện tích dưới một đường sin. Chia hai diện tích đó thì π nằm lại ở mẫu số: P = 2l/(πd) với kim ngắn.

Cần bao nhiêu lần thả để có ước lượng ổn định?

Khi kim dài bằng nửa khoảng cách, π xấp xỉ số lần thả chia cho số lần cắt. Vài nghìn lần thả thường làm các chữ số đầu ổn định. Thêm một chữ số nữa cần số lần lớn hơn nhiều. Dấu ± trên kết quả là một sai số chuẩn của ước lượng.

Nếu kim dài hơn khoảng cách thì sao?

Kim dài hơn có thể cắt nhiều hơn một đường, và P = 2l/(πd) không còn đúng. Ứng dụng này giữ l ≤ d, nên ước lượng vẫn là π ≈ 2l·N / (d·N_hit).