Об игле Бюффона | Геометрическая вероятность и π

Пол в параллельных линиях

В 1777 году Жорж-Луи Леклерк, граф де Бюффон, задал вопрос, похожий на салонный фокус. Игла длины l падает на пол, расчерченный параллельными линиями на расстоянии d. Какова вероятность P того, что игла ляжет поперёк линии? Случайны лишь две вещи. Середина иглы с равной вероятностью оказывается в любом месте между линиями, а сама игла с равной вероятностью смотрит в любом направлении. Сдвиг картинки вдоль линий не меняет того, пересекает ли игла линию, поэтому положение вдоль линии можно не учитывать.

Короткая игла

Классический ответ относится к короткой игле, не длиннее расстояния между линиями: l ≤ d. Такая игла может задеть не больше одной линии, и вероятность этого равна P = 2l / (πd) Удобно взять иглу вдвое короче расстояния, l = d/2. Тогда P = 1/π, примерно 0,318. Чуть меньше одного броска из трёх даёт пересечение.

Откуда берётся π

Обозначим через x расстояние от середины иглы до ближайшей линии. Тогда x меняется от 0 до d/2. Обозначим через θ угол между иглой и линиями. У иглы нет ни головки, ни хвоста, поэтому θ меняется от 0 до π, и эти пол-оборота уже охватывают все направления. Игла достаёт до линии, когда x не больше проекции половины иглы: x ≤ (l/2) sin θ Каждая пара (θ, x) — точка в прямоугольнике шириной π и высотой d/2. Пересечениям соответствует область под синусоидой. Для короткой иглы эта кривая не выходит за пределы прямоугольника. Её площадь — интеграл от 0 до π от (l/2) sin θ dθ, то есть l. Разделив на площадь прямоугольника π·d/2, получаем вероятность 2l/(πd). π в формуле — это ширина оси углов.

Оценка π

Обратите формулу, и те же броски оценят π: π ≈ 2l · N / (d · N_hit) N — число бросков, N_hit — число тех, что пересекли линию. При l = d/2 это просто π ≈ N / N_hit Это оценка методом Монте-Карло: выбирайте случайные положения и углы, считайте пересечения, делите. На полу видны иглы. Прямоугольник рядом показывает те же броски точками: под синусоидой, если игла пересекла линию, и над ней, если нет.

Опыт для терпеливых

Оценка несмещённая, но медленная. Каждый бросок — это «да» или «нет» с вероятностью около 1/π, поэтому отношение долго колеблется. Нескольких тысяч бросков обычно хватает, чтобы в первых цифрах узнать π. Следующая цифра требует гораздо большего числа бросков. ± рядом с показанием — одна стандартная ошибка этого отношения, мера того, насколько серия такой длины обычно ещё отстоит от истинного значения. Игла Бюффона напрямую связывает разлинованный пол и окружность. А вот вычислять цифры π с её помощью плохо.

Исследуйте в PictorX

Откройте иглу Бюффона, и опыт с половинной иглой уже идёт: l/d = 0,50, поэтому показание — число бросков, делённое на число пересечений. «Пол и диаграмма» показывает доски и синусоидальный прямоугольник вместе. Проведите по полу, чтобы положить одну иглу вручную и прочитать её x и угол. Эта игла рисуется, но не учитывается, так что оценка остаётся случайной выборкой. «Полный промежуток» задаёт l = d, где π ≈ 2N / N_hit. «Короткая игла» задаёт l = d/4. «1000 бросков» сбрасывает партию и встаёт на паузу, чтобы вы могли прочитать оценку. Избранная «Синусоидальная диаграмма» скрывает пол и заполняет прямоугольник. Сохраните PNG или откройте холст в редакторе PictorX. Добавьте спираль Улама или гипотезу Коллатца — там тоже есть математика, за которой можно наблюдать.

Часто задаваемые вопросы

Кто поставил задачу Бюффона об игле?

Жорж-Луи Леклерк, граф де Бюффон, в 1777 году. Это одна из первых задач геометрической вероятности.

Когда игла пересекает линию?

Когда расстояние x от её середины до ближайшей линии не больше (l/2) sin θ. Здесь θ — угол между иглой и линиями, от 0 до π.

Почему в ответе есть π?

Направление иглы — это угол. Все возможные падения заполняют прямоугольник шириной π и высотой d/2, а пересечениям соответствует площадь под синусоидой. При делении этих двух площадей π остаётся в знаменателе: P = 2l/(πd) для короткой иглы.

Сколько бросков нужно для устойчивой оценки?

Когда игла вдвое короче расстояния, π примерно равно числу бросков, делённому на число пересечений. Нескольких тысяч бросков обычно хватает, чтобы установились первые цифры. Ещё одна цифра требует гораздо большего числа бросков. ± в показании — одна стандартная ошибка оценки.

А если игла длиннее расстояния?

Более длинная игла может пересечь больше одной линии, и формула P = 2l/(πd) перестаёт работать. Это приложение держит l ≤ d, поэтому оценка остаётся π ≈ 2l·N / (d·N_hit).