Sobre a agulha de Buffon | Probabilidade geométrica e π

Um chão de linhas paralelas

Em 1777, Georges-Louis Leclerc, conde de Buffon, fez uma pergunta que soa a truque de salão. Uma agulha de comprimento l cai num chão com linhas paralelas a uma distância d. Qual é a probabilidade P de a agulha ficar atravessada sobre uma linha? Só duas coisas na queda são aleatórias. O centro da agulha tem a mesma probabilidade de cair em qualquer ponto entre as linhas, e a agulha tem a mesma probabilidade de apontar em qualquer direção. Deslizar a imagem ao longo das linhas não muda se ela cruza ou não, por isso a posição ao longo de uma linha pode ser ignorada.

A agulha curta

A resposta clássica é para uma agulha curta, que não seja mais comprida do que a distância: l ≤ d. Uma agulha assim pode tocar no máximo uma linha, e a probabilidade de o fazer é P = 2l / (πd) Uma configuração prática usa a agulha a metade da distância, l = d/2. Então P = 1/π, cerca de 0,318. Um pouco menos de um em cada três lançamentos é um cruzamento.

De onde vem π

Chame-se x à distância do centro da agulha à linha mais próxima. Então x vai de 0 a d/2. Chame-se θ ao ângulo entre a agulha e as linhas. Uma agulha não tem cabeça nem cauda, por isso θ vai de 0 a π e essa meia volta já inclui todas as direções. A agulha alcança a linha quando x não é maior do que a projeção de metade da agulha: x ≤ (l/2) sen θ Cada par (θ, x) é um ponto num retângulo de largura π e altura d/2. Os cruzamentos são a região sob a curva do seno. Para uma agulha curta, essa curva fica dentro do retângulo. A sua área é o integral de 0 a π de (l/2) sen θ dθ, que é l. Ao dividir pela área do retângulo, π·d/2, a probabilidade é 2l/(πd). O π da fórmula é a largura do eixo dos ângulos.

Estimar π

Inverta a fórmula e os mesmos lançamentos estimam π: π ≈ 2l · N / (d · N_hit) N é o número de lançamentos e N_hit o número dos que cruzam uma linha. Com l = d/2 fica simplesmente π ≈ N / N_hit É uma estimativa de Monte Carlo: sortear posições e ângulos, contar os cruzamentos, dividir. O chão mostra as agulhas. O retângulo ao lado mostra os mesmos lançamentos como pontos, sob a curva do seno quando cruzam e acima dela quando falham.

Uma experiência paciente

A estimativa é não enviesada, e lenta. Cada lançamento é um sim ou um não com uma probabilidade próxima de 1/π, por isso a razão oscila durante muito tempo. Alguns milhares de lançamentos costumam tornar os primeiros algarismos reconhecíveis como π. O algarismo seguinte exige uma contagem muito maior. O ± junto ao valor é um erro-padrão dessa razão, uma medida de quão longe uma série com este comprimento ainda costuma estar do valor verdadeiro. A agulha de Buffon é uma ligação direta entre um chão com riscas e um círculo. É uma má máquina para calcular algarismos de π.

Explore-o no PictorX

Abra a agulha de Buffon e a experiência da meia agulha já está a cair: l/d = 0,50, por isso o valor mostrado é lançamentos a dividir por cruzamentos. «Chão e diagrama» mostra as tábuas e o retângulo do seno em conjunto. Arraste no chão para colocar uma agulha à mão e ler o seu x e o seu ângulo. Essa agulha é desenhada e fica fora da contagem, para que a estimativa continue a ser uma amostra aleatória. «Distância completa» define l = d, onde π ≈ 2N / N_hit. «Agulha curta» define l = d/4. «1000 lançamentos» deixa cair um lote e faz pausa para que possa ler a estimativa. O favorito «Diagrama do seno» esconde o chão e preenche o retângulo. Guarde um PNG ou abra a tela no editor do PictorX. Combine-o com a espiral de Ulam ou a conjetura de Collatz para ver mais matemática em ação.

Perguntas frequentes

Quem formulou o problema da agulha de Buffon?

Georges-Louis Leclerc, conde de Buffon, em 1777. É um dos primeiros problemas de probabilidade geométrica.

Quando é que a agulha cruza uma linha?

Quando a distância x do seu centro à linha mais próxima é no máximo (l/2) sen θ. Aqui θ é o ângulo entre a agulha e as linhas, de 0 a π.

Porque é que π aparece na resposta?

A direção da agulha é um ângulo. Todas as quedas possíveis preenchem um retângulo com π de largura e d/2 de altura, e os cruzamentos são a área sob uma curva do seno. Ao dividir essas duas áreas, π fica no denominador: P = 2l/(πd) para uma agulha curta.

Quantos lançamentos são precisos para uma estimativa estável?

Com a agulha a metade da distância, π é aproximadamente lançamentos a dividir por cruzamentos. Alguns milhares de lançamentos costumam fixar os primeiros algarismos. Mais um algarismo exige uma contagem muito maior. O ± no valor mostrado é um erro-padrão da estimativa.

E se a agulha for mais comprida do que a distância?

Uma agulha mais comprida pode cruzar mais do que uma linha, e P = 2l/(πd) deixa de ser válida. Esta aplicação mantém l ≤ d, por isso a estimativa continua a ser π ≈ 2l·N / (d·N_hit).