Over de naald van Buffon | Meetkundige kans en π

Een vloer met evenwijdige lijnen

In 1777 stelde Georges-Louis Leclerc, graaf van Buffon, een vraag die klinkt als een salontruc. Een naald met lengte l valt op een vloer met evenwijdige lijnen op afstand d. Hoe groot is de kans P dat de naald over een lijn ligt? Maar twee dingen aan de val zijn willekeurig. Het midden van de naald komt met even grote kans overal tussen de lijnen terecht, en de naald wijst met even grote kans in elke richting. Het beeld langs de lijnen verschuiven verandert niets aan of hij kruist, dus de positie langs een lijn doet er niet toe.

De korte naald

Het klassieke antwoord geldt voor een korte naald, die niet langer is dan de tussenruimte: l ≤ d. Zo’n naald kan hooguit één lijn raken, en de kans daarop is P = 2l / (πd) Handig is een naald die half zo lang is als de tussenruimte, l = d/2. Dan is P = 1/π, ongeveer 0,318. Iets minder dan één op de drie worpen is een kruising.

Waar π vandaan komt

Noem x de afstand van het midden van de naald tot de dichtstbijzijnde lijn. Dan loopt x van 0 tot d/2. Noem θ de hoek tussen de naald en de lijnen. Een naald heeft geen kop en geen staart, dus θ loopt van 0 tot π en die halve draai omvat al elke richting. De naald bereikt de lijn als x niet groter is dan de projectie van de halve naald: x ≤ (l/2) sin θ Elk paar (θ, x) is een punt in een rechthoek met breedte π en hoogte d/2. De kruisingen vormen het gebied onder de sinuskromme. Bij een korte naald blijft die kromme binnen de rechthoek. Het oppervlak ervan is de integraal van 0 tot π van (l/2) sin θ dθ, en dat is l. Deel door het oppervlak van de rechthoek, π·d/2, en de kans is 2l/(πd). De π in de formule is de breedte van de hoekas.

π schatten

Draai de formule om en dezelfde worpen schatten π: π ≈ 2l · N / (d · N_hit) N is het aantal worpen en N_hit het aantal dat een lijn kruist. Met l = d/2 is dat eenvoudig π ≈ N / N_hit Het is een Monte-Carloschatting: trek willekeurige posities en hoeken, tel de treffers en deel. De vloer toont de naalden. De rechthoek ernaast toont dezelfde worpen als stippen, onder de sinuskromme als ze kruisen en erboven als ze missen.

Een geduldig experiment

De schatting is zuiver, en traag. Elke worp is een ja of een nee met een kans van bijna 1/π, dus de verhouding zwalkt lang heen en weer. Na een paar duizend worpen zijn de eerste cijfers meestal als π herkenbaar. Het volgende cijfer vraagt een veel groter aantal. De ± naast de uitlezing is één standaardfout van die verhouding, een maat voor hoe ver een reeks van deze lengte doorgaans nog van de ware waarde af zit. De naald van Buffon is een directe verbinding tussen een gestreepte vloer en een cirkel. Als machine om cijfers van π te berekenen is hij slecht.

Ontdek het in PictorX

Open de naald van Buffon en het experiment met de halve naald valt al: l/d = 0,50, dus de uitlezing is worpen gedeeld door kruisingen. ‘Vloer en diagram’ toont de planken en de sinusrechthoek samen. Sleep over de vloer om met de hand één naald te leggen en de x en de hoek ervan af te lezen. Die naald wordt getekend maar niet meegeteld, zodat de schatting een willekeurige steekproef blijft. ‘Volle tussenruimte’ stelt l = d in, waarbij π ≈ 2N / N_hit. ‘Korte naald’ stelt l = d/4 in. ‘1.000 worpen’ laat een reeks vallen en pauzeert, zodat je de schatting kunt aflezen. De favoriet ‘Sinusdiagram’ verbergt de vloer en vult de rechthoek. Sla een PNG op of open het canvas in de PictorX-editor. Combineer het met de Ulam-spiraal of het vermoeden van Collatz voor meer wiskunde om naar te kijken.

Veelgestelde vragen

Wie stelde het naaldprobleem van Buffon?

Georges-Louis Leclerc, graaf van Buffon, in 1777. Het is een van de eerste problemen uit de meetkundige kansrekening.

Wanneer kruist de naald een lijn?

Als de afstand x van het midden tot de dichtstbijzijnde lijn hooguit (l/2) sin θ is. Hierbij is θ de hoek tussen de naald en de lijnen, van 0 tot π.

Waarom zit π in het antwoord?

De richting van de naald is een hoek. Alle mogelijke worpen vullen een rechthoek van π breed en d/2 hoog, en de kruisingen vormen het oppervlak onder een sinuskromme. Deel je die twee oppervlakken, dan blijft π in de noemer over: P = 2l/(πd) voor een korte naald.

Hoeveel worpen zijn nodig voor een stabiele schatting?

Met de naald half zo lang als de tussenruimte is π ongeveer worpen gedeeld door kruisingen. Een paar duizend worpen leggen meestal de eerste cijfers vast. Een cijfer meer vraagt een veel groter aantal. De ± bij de uitlezing is één standaardfout van de schatting.

En als de naald langer is dan de tussenruimte?

Een langere naald kan meer dan één lijn kruisen, en P = 2l/(πd) geldt dan niet meer. Deze app houdt l ≤ d, dus de schatting blijft π ≈ 2l·N / (d·N_hit).