ビュフォンの針
ビュフォンの針は、幾何確率の中でも最も古い問題の一つです。平行線の引かれた床に針を落とします。針が線と交わる確率は簡単な式で表され、そこには π が含まれています。
平行線の床
1777年、ビュフォン伯爵ジョルジュ＝ルイ・ルクレールは、まるで余興の手品のような問いを立てました。長さ l の針が、間隔 d で平行線が引かれた床に落ちます。針が線をまたぐ確率 P はいくつでしょうか。 落下でランダムなのは2つだけです。針の中心は線と線の間のどこにも同じ確率で落ち、針はどの向きにも同じ確率で向きます。絵を線に沿ってずらしても交わるかどうかは変わらないので、線に沿った位置は無視できます。
短い針
古典的な答えは短い針、つまり間隔より長くない針（l ≤ d）についてのものです。このような針は多くても1本の線にしか触れず、触れる確率は P = 2l / (πd) です。扱いやすいのは針を間隔の半分、l = d/2 にする設定です。このとき P = 1/π、約 0.318 です。3回に1回よりやや少ない割合で交差します。
π はどこから来るのか
針の中心から最も近い線までの距離を x とします。x は 0 から d/2 までです。針と線のなす角を θ とします。針には頭も尾もないので、θ は 0 から π までで、この半回転ですでにすべての向きが含まれます。 x が針の半分の射影以下のとき、針は線に届きます。 x ≤ (l/2) sin θ 組 (θ, x) はどれも、幅 π、高さ d/2 の長方形の中の1点です。交差はサイン曲線の下の領域です。短い針では、この曲線は長方形の内側に収まります。その面積は (l/2) sin θ dθ を 0 から π まで積分したもので、l になります。長方形の面積 π·d/2 で割ると、確率は 2l/(πd) です。式の中の π は角度軸の幅なのです。
π を推定する
式を逆にすると、同じ投下で π を推定できます。 π ≈ 2l · N / (d · N_hit) N は投下数、N_hit は線と交わった数です。l = d/2 なら、これは単に π ≈ N / N_hit になります。これはモンテカルロ推定です。ランダムに位置と角度を選び、交差を数え、割り算をします。床には針が表示されます。隣の長方形には同じ投下が点で表示され、交差したものはサイン曲線の下、交差しなかったものは上に来ます。
根気のいる実験
この推定は偏りがありませんが、遅いのです。1回の投下は確率がほぼ 1/π の「はい」か「いいえ」なので、比は長いあいだふらつきます。数千回投げれば、たいてい最初の数桁が π だとわかるようになります。次の1桁にはずっと多くの回数が必要です。表示の横の ± はこの比の標準誤差1つ分で、この長さの試行が真の値からまだどれくらい離れているのが普通かを示します。 ビュフォンの針は、線を引いた床と円を直接結びつけます。ただし π の桁を計算する機械としては出来がよくありません。
PictorX で試す
ビュフォンの針を開くと、半分の針の実験がすでに始まっています。l/d = 0.50 なので、表示は投下数 ÷ 交差数です。「床と図」では床板とサイン長方形を一緒に表示します。床の上をドラッグすると針を1本手で置き、その x と角度を読み取れます。その針は描かれますが数には含まれないので、推定はランダムな標本のままです。 「間隔いっぱい」は l = d に設定し、このとき π ≈ 2N / N_hit です。「短い針」は l = d/4 に設定します。「1,000 回投下」はまとめて落としてから一時停止し、推定値を読めるようにします。お気に入りの「サイン図」は床を隠して長方形を埋めます。PNG を保存するか、キャンバスを PictorX エディターで開きましょう。ウラムの螺旋やコラッツ予想と合わせて、目で見る数学をもっと楽しめます。
よくある質問
ビュフォンの針の問題を出したのは誰ですか？
ビュフォン伯爵ジョルジュ＝ルイ・ルクレールで、1777年のことです。幾何確率の最初期の問題の一つです。
針はいつ線と交わりますか？
中心から最も近い線までの距離 x が (l/2) sin θ 以下のときです。ここで θ は針と線のなす角で、0 から π までの値をとります。
なぜ答えに π が入るのですか？
針の向きは角度です。起こりうるすべての落ち方は幅 π、高さ d/2 の長方形を埋め、交差はサイン曲線の下の面積になります。この2つの面積を割ると分母に π が残ります。短い針なら P = 2l/(πd) です。
安定した推定には何回投げればよいですか？
針が間隔の半分なら、π はおよそ投下数 ÷ 交差数です。数千回投げれば、たいてい最初の数桁が落ち着きます。もう1桁には、はるかに多くの回数が必要です。表示の ± は推定値の標準誤差1つ分です。
針が間隔より長い場合は？
長い針は2本以上の線と交わることがあり、P = 2l/(πd) は成り立たなくなります。このアプリでは l ≤ d に保つので、推定は π ≈ 2l·N / (d·N_hit) のままです。
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