Aiguille de Buffon
L’aiguille de Buffon est l’un des plus anciens problèmes de probabilité géométrique. Lâchez une aiguille sur un plancher rayé de lignes parallèles. La probabilité qu’elle croise une ligne tient en une formule simple, et π y figure.
Un plancher de lignes parallèles
En 1777, Georges-Louis Leclerc, comte de Buffon, posa une question qui ressemble à un tour de salon. Une aiguille de longueur l tombe sur un plancher rayé de lignes parallèles espacées de d. Quelle est la probabilité P que l’aiguille chevauche une ligne ? Seules deux choses sont aléatoires dans la chute. Le centre de l’aiguille a autant de chances de tomber n’importe où entre les lignes, et l’aiguille a autant de chances de pointer dans n’importe quelle direction. Faire glisser l’image le long des lignes ne change pas le fait qu’elle croise ou non, donc la position le long d’une ligne peut être ignorée.
L’aiguille courte
La réponse classique concerne une aiguille courte, pas plus longue que l’écart : l ≤ d. Une telle aiguille peut toucher au plus une ligne, et la probabilité qu’elle le fasse est P = 2l / (πd) Un réglage pratique prend une aiguille longue de la moitié de l’écart, l = d/2. Alors P = 1/π, environ 0,318. Un peu moins d’un lancer sur trois est un croisement.
D’où vient π
Notons x la distance entre le centre de l’aiguille et la ligne la plus proche. x va alors de 0 à d/2. Notons θ l’angle entre l’aiguille et les lignes. Une aiguille n’a ni tête ni queue, donc θ va de 0 à π, et ce demi-tour couvre déjà toutes les directions. L’aiguille atteint la ligne quand x ne dépasse pas la projection de la moitié de l’aiguille : x ≤ (l/2) sin θ Chaque couple (θ, x) est un point d’un rectangle de largeur π et de hauteur d/2. Les croisements forment la région sous la courbe sinus. Pour une aiguille courte, cette courbe reste dans le rectangle. Son aire est l’intégrale de 0 à π de (l/2) sin θ dθ, soit l. En divisant par l’aire du rectangle, π·d/2, on obtient la probabilité 2l/(πd). Le π de la formule est la largeur de l’axe des angles.
Estimer π
Renversez la formule et les mêmes lancers estiment π : π ≈ 2l · N / (d · N_hit) N est le nombre de lancers et N_hit le nombre de ceux qui croisent une ligne. Avec l = d/2, cela devient simplement π ≈ N / N_hit C’est une estimation de Monte-Carlo : tirer des positions et des angles au hasard, compter les croisements, diviser. Le plancher montre les aiguilles. Le rectangle à côté montre les mêmes lancers sous forme de points, sous la courbe sinus quand ils croisent et au-dessus quand ils manquent.
Une expérience de patience
L’estimation est sans biais, mais lente. Chaque lancer est un oui ou un non avec une probabilité proche de 1/π, donc le rapport fluctue longtemps. Quelques milliers de lancers rendent en général les premiers chiffres reconnaissables comme ceux de π. Le chiffre suivant demande un nombre bien plus grand. Le ± à côté de l’affichage est une erreur type de ce rapport, une mesure de l’écart qui sépare typiquement encore une série de cette longueur de la vraie valeur. L’aiguille de Buffon relie directement un plancher rayé et un cercle. C’est une piètre machine à calculer les chiffres de π.
L’explorer dans PictorX
Ouvrez l’aiguille de Buffon : l’expérience de la demi-aiguille tombe déjà. l/d = 0,50, donc l’affichage donne lancers divisés par croisements. « Plancher et diagramme » montre les lattes et le rectangle du sinus ensemble. Faites glisser sur le plancher pour poser une aiguille à la main et lire son x et son angle. Cette aiguille est dessinée mais exclue du comptage, si bien que l’estimation reste un échantillon aléatoire. « Écart entier » fixe l = d, où π ≈ 2N / N_hit. « Aiguille courte » fixe l = d/4. « 1 000 lancers » lâche un lot puis se met en pause pour que vous puissiez lire l’estimation. Le favori « Diagramme sinus » masque le plancher et remplit le rectangle. Enregistrez un PNG ou ouvrez le canevas dans l’éditeur PictorX. Associez-le à la spirale d’Ulam ou à la conjecture de Collatz pour d’autres mathématiques à regarder.
Questions fréquemment posées
Qui a posé le problème de l’aiguille de Buffon ?
Georges-Louis Leclerc, comte de Buffon, en 1777. C’est l’un des premiers problèmes de probabilité géométrique.
Quand l’aiguille croise-t-elle une ligne ?
Quand la distance x entre son centre et la ligne la plus proche vaut au plus (l/2) sin θ. Ici, θ est l’angle entre l’aiguille et les lignes, compris entre 0 et π.
Pourquoi la réponse contient-elle π ?
La direction de l’aiguille est un angle. Toutes les chutes possibles remplissent un rectangle de largeur π et de hauteur d/2, et les croisements forment l’aire sous une courbe sinus. Le rapport de ces deux aires laisse π au dénominateur : P = 2l/(πd) pour une aiguille courte.
Combien de lancers faut-il pour une estimation stable ?
Avec une aiguille longue de la moitié de l’écart, π vaut environ lancers divisés par croisements. Quelques milliers de lancers fixent en général les premiers chiffres. Un chiffre de plus demande un nombre bien plus grand. Le ± de l’affichage est une erreur type de l’estimation.
Et si l’aiguille est plus longue que l’écart ?
Une aiguille plus longue peut croiser plusieurs lignes, et P = 2l/(πd) ne s’applique plus. Cette application maintient l ≤ d, donc l’estimation reste π ≈ 2l·N / (d·N_hit).
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