Sobre la aguja de Buffon | Probabilidad geométrica y π

Un suelo de líneas paralelas

En 1777, Georges-Louis Leclerc, conde de Buffon, planteó una pregunta que suena a truco de salón. Una aguja de longitud l cae sobre un suelo con líneas paralelas separadas una distancia d. ¿Cuál es la probabilidad P de que la aguja quede sobre una línea? Solo dos cosas de la caída son aleatorias. El centro de la aguja tiene la misma probabilidad de caer en cualquier punto entre las líneas, y la aguja tiene la misma probabilidad de apuntar en cualquier dirección. Deslizar la imagen a lo largo de las líneas no cambia si cruza o no, así que la posición a lo largo de una línea puede ignorarse.

La aguja corta

La respuesta clásica es para una aguja corta, que no sea más larga que la separación: l ≤ d. Una aguja así puede tocar como mucho una línea, y la probabilidad de que lo haga es P = 2l / (πd) Una configuración práctica toma la aguja a la mitad de la separación, l = d/2. Entonces P = 1/π, aproximadamente 0,318. Algo menos de uno de cada tres lanzamientos es un cruce.

De dónde sale π

Llamemos x a la distancia del centro de la aguja a la línea más cercana. Entonces x va de 0 a d/2. Llamemos θ al ángulo entre la aguja y las líneas. Una aguja no tiene cabeza ni cola, así que θ va de 0 a π y esa media vuelta ya incluye todas las direcciones. La aguja alcanza la línea cuando x no es mayor que la proyección de media aguja: x ≤ (l/2) sen θ Cada par (θ, x) es un punto de un rectángulo de anchura π y altura d/2. Los cruces son la región bajo la curva del seno. Para una aguja corta, esa curva queda dentro del rectángulo. Su área es la integral de 0 a π de (l/2) sen θ dθ, que vale l. Al dividir por el área del rectángulo, π·d/2, la probabilidad es 2l/(πd). El π de la fórmula es la anchura del eje de los ángulos.

Estimar π

Da la vuelta a la fórmula y los mismos lanzamientos estiman π: π ≈ 2l · N / (d · N_hit) N es el número de lanzamientos y N_hit el número de los que cruzan una línea. Con l = d/2 queda simplemente π ≈ N / N_hit Es una estimación de Montecarlo: sortea posiciones y ángulos, cuenta los cruces y divide. El suelo muestra las agujas. El rectángulo de al lado muestra los mismos lanzamientos como puntos, bajo la curva del seno cuando cruzan y por encima cuando no.

Un experimento paciente

La estimación es insesgada, y lenta. Cada lanzamiento es un sí o un no con una probabilidad cercana a 1/π, así que el cociente oscila durante mucho tiempo. Unos pocos miles de lanzamientos suelen bastar para reconocer las primeras cifras de π. La siguiente cifra pide un recuento mucho mayor. El ± junto a la lectura es un error estándar de ese cociente, una medida de lo lejos que suele estar todavía del valor real una serie de esa longitud. La aguja de Buffon es un vínculo directo entre un suelo rayado y un círculo. Es una mala máquina para calcular cifras de π.

Explóralo en PictorX

Abre la aguja de Buffon y el experimento de media aguja ya está cayendo: l/d = 0,50, así que la lectura es lanzamientos entre cruces. «Suelo y diagrama» muestra las tablas y el rectángulo del seno juntos. Arrastra sobre el suelo para colocar una aguja a mano y leer su x y su ángulo. Esa aguja se dibuja y queda fuera del recuento, de modo que la estimación sigue siendo una muestra aleatoria. «Separación completa» fija l = d, donde π ≈ 2N / N_hit. «Aguja corta» fija l = d/4. «1000 lanzamientos» deja caer un lote y se pausa para que puedas leer la estimación. El favorito «Diagrama del seno» oculta el suelo y llena el rectángulo. Guarda un PNG o abre el lienzo en el editor de PictorX. Combínalo con la espiral de Ulam o la conjetura de Collatz para ver más matemáticas en acción.

Preguntas frecuentes

¿Quién planteó el problema de la aguja de Buffon?

Georges-Louis Leclerc, conde de Buffon, en 1777. Es uno de los primeros problemas de probabilidad geométrica.

¿Cuándo cruza la aguja una línea?

Cuando la distancia x de su centro a la línea más cercana es como mucho (l/2) sen θ. Aquí θ es el ángulo entre la aguja y las líneas, de 0 a π.

¿Por qué aparece π en la respuesta?

La dirección de la aguja es un ángulo. Todas las caídas posibles llenan un rectángulo de π de ancho y d/2 de alto, y los cruces son el área bajo una curva del seno. Al dividir esas dos áreas, π queda en el denominador: P = 2l/(πd) para una aguja corta.

¿Cuántos lanzamientos hacen falta para una estimación estable?

Con la aguja a la mitad de la separación, π es aproximadamente lanzamientos entre cruces. Unos pocos miles de lanzamientos suelen fijar las primeras cifras. Otra cifra requiere un recuento mucho mayor. El ± de la lectura es un error estándar de la estimación.

¿Y si la aguja es más larga que la separación?

Una aguja más larga puede cruzar más de una línea, y P = 2l/(πd) deja de valer. Esta aplicación mantiene l ≤ d, así que la estimación sigue siendo π ≈ 2l·N / (d·N_hit).