Über Funktionen und Graphen | Koordinatensysteme und Descartes

Was ist eine Funktion?

Eine Funktion ist eine Regel, die jedem Eingabewert genau einen Ausgabewert zuordnet. Die Regel f(x) = x² macht aus 3 eine 9 und aus −3 ebenfalls 9. Die Eingaben, die eine Funktion annimmt, bilden ihren Definitionsbereich: 1/x hat bei 0 keinen Wert, und ln x funktioniert nur für positive Zahlen. Funktionen beschreiben, wie eine Größe von einer anderen abhängt, etwa der Weg von der Zeit oder der Preis von der Menge.

Das kartesische Koordinatensystem

Zwei Zahlengeraden schneiden sich im Ursprung (0, 0) im rechten Winkel: die waagerechte x-Achse und die senkrechte y-Achse. Jeder Punkt der Ebene bekommt eine Adresse (x, y): wie weit nach rechts und dann wie weit nach oben. Der Graph einer Funktion ist die Menge aller Punkte (x, f(x)); jedes x auf der Achse wird also auf die Höhe seines Wertes gehoben. Die Achsen teilen die Ebene in vier Quadranten, gegen den Uhrzeigersinn ab oben rechts nummeriert.

René Descartes und die analytische Geometrie

1637 veröffentlichte der französische Philosoph René Descartes La Géométrie als Anhang zu seinem Discours de la méthode. Er zeigte, dass sich eine Kurve als Gleichung schreiben und eine Gleichung als Kurve zeichnen lässt, sodass geometrische Probleme mit Algebra gelöst werden können. Pierre de Fermat hatte etwa zur selben Zeit dieselbe Idee. Der Name „kartesisch“ kommt von Descartes' lateinischem Namen Cartesius; das Raster mit zwei senkrechten Achsen erhielt erst später seine heutige Form.

Andere Koordinatensysteme

Ein Raster ist nicht die einzige Art, einen Punkt zu beschreiben. Polarkoordinaten verwenden einen Abstand vom Mittelpunkt und einen Winkel; damit werden Kreise und Spiralen einfach: r = 1 ist ein Kreis. Breiten- und Längengrad bestimmen Orte auf der runden Erde, und drei Achsen x, y und z beschreiben den Raum. Logarithmische Achsen stauchen riesige Bereiche in eine Ansicht, sodass exponentielles Wachstum als Gerade erscheint.

Häufig gestellte Fragen

Was ist eine Asymptote?

Eine Gerade, der sich ein Graph immer mehr nähert, ohne sie zu erreichen. 1/x hat eine senkrechte Asymptote bei x = 0 und eine waagerechte bei y = 0, und tan x hat bei jedem ungeraden Vielfachen von π/2 eine senkrechte Asymptote.

Was bewirkt der Parameter a?

Er macht aus einer Formel eine ganze Schar von Graphen. Bei a*x^2 wird die Parabel schmaler, wenn a wächst, und kippt um, wenn a negativ ist; bei sin(a*x) wird die Welle schneller. Mit dem Schieberegler siehst du, wie jeder Teil einer Formel die Kurve formt.

Warum heißt es kartesisches Koordinatensystem?

Es ist nach René Descartes benannt, der auf Latein als Cartesius schrieb. Sein Werk von 1637 zeigte, wie man Punkte mit Zahlen verbindet – die Idee hinter jedem Graphen auf dieser Seite.