عن الدوال والرسوم البيانية | أنظمة الإحداثيات وديكارت

ما الدالة؟

الدالة قاعدة تعطي ناتجًا واحدًا بالضبط لكل مُدخل. فالقاعدة f(x) = x² تحوّل 3 إلى 9 وتحوّل −3 إلى 9 أيضًا. وتشكّل المدخلات التي تقبلها الدالة مجالها: فليس للدالة 1/x قيمة عند 0، ولا تعمل ln x إلا مع الأعداد الموجبة. تصف الدوال كيف تعتمد كمية على أخرى، مثل المسافة على الزمن أو السعر على الكمية المشتراة.

نظام الإحداثيات الديكارتي

يتقاطع خطّا أعداد بزاوية قائمة عند نقطة الأصل (0, 0): المحور الأفقي x والمحور الرأسي y. تحصل كل نقطة في المستوى على عنوان (x, y): كم تتحرك إلى اليمين ثم كم تصعد. ورسم الدالة هو مجموعة كل النقاط (x, f(x))، أي أن كل x على المحور يُرفع إلى ارتفاع قيمته. يقسم المحوران المستوى إلى أربعة أرباع مرقّمة عكس اتجاه عقارب الساعة بدءًا من الربع العلوي الأيمن.

رينيه ديكارت والهندسة التحليلية

في عام 1637 نشر الفيلسوف الفرنسي رينيه ديكارت كتاب «الهندسة» ملحقًا بكتابه «مقال عن المنهج». وبيّن أن المنحنى يمكن كتابته معادلةً، وأن المعادلة يمكن رسمها منحنى، فصار بالإمكان حلّ مسائل الهندسة بالجبر. وتوصّل بيير دي فيرما إلى الفكرة نفسها في الفترة نفسها تقريبًا. ويأتي اسم «الديكارتي» من اسم ديكارت اللاتيني Cartesius، أما الشبكة ذات المحورين المتعامدين فلم تتخذ شكلها الحالي إلا لاحقًا.

أنظمة إحداثيات أخرى

ليست الشبكة الطريقة الوحيدة لوصف نقطة. تستخدم الإحداثيات القطبية بُعدًا عن المركز وزاوية، مما يجعل الدوائر واللوالب بسيطة: r = 1 دائرة. ويحدّد خطّا العرض والطول الأماكن على الأرض الكروية، وتصف ثلاثة محاور x و y و z الفضاء. أما المحاور اللوغاريتمية فتضغط نطاقات هائلة في عرض واحد، فيظهر النمو الأسّي خطًا مستقيمًا.

الأسئلة المتداولة

ما الخط المقارب؟

خط يقترب منه الرسم أكثر فأكثر دون أن يبلغه. للدالة 1/x خط مقارب رأسي عند x = 0 وأفقي عند y = 0، وللدالة tan x خط مقارب رأسي عند كل مضاعف فردي لـ π/2.

ما وظيفة المعامل a؟

يحوّل صيغة واحدة إلى عائلة من الرسوم. في a*x^2 يضيق القطع المكافئ كلما كبرت a وينقلب عندما تكون a سالبة، وفي sin(a*x) تصبح الموجة أسرع. وتحريك المنزلق يُظهر كيف يشكّل كل جزء من الصيغة المنحنى.

لماذا يسمّى النظام الديكارتي؟

سُمّي باسم رينيه ديكارت الذي كان يكتب باللاتينية باسم Cartesius. وقد بيّن عمله عام 1637 كيف تُربط النقاط بالأعداد، وهي الفكرة الكامنة وراء كل رسم في هذه الصفحة.