O funkcjach i wykresach | Układy współrzędnych i Kartezjusz

Czym jest funkcja?

Funkcja to reguła, która każdemu argumentowi przypisuje dokładnie jedną wartość. Reguła f(x) = x² zamienia 3 na 9, a −3 też na 9. Argumenty, które funkcja przyjmuje, tworzą jej dziedzinę: 1/x nie ma wartości w zerze, a ln x działa tylko dla liczb dodatnich. Funkcje opisują, jak jedna wielkość zależy od drugiej, na przykład droga od czasu albo cena od kupowanej ilości.

Kartezjański układ współrzędnych

Dwie osie liczbowe przecinają się pod kątem prostym w początku układu (0, 0): pozioma oś x i pionowa oś y. Każdy punkt płaszczyzny dostaje adres (x, y): ile w prawo, a potem ile w górę. Wykres funkcji to zbiór wszystkich punktów (x, f(x)), więc każde x na osi zostaje uniesione na wysokość swojej wartości. Osie dzielą płaszczyznę na cztery ćwiartki, numerowane przeciwnie do ruchu wskazówek zegara od prawej górnej.

Kartezjusz i geometria analityczna

W 1637 roku francuski filozof René Descartes, znany w Polsce jako Kartezjusz, wydał La Géométrie jako dodatek do Rozprawy o metodzie. Pokazał, że krzywą można zapisać jako równanie, a równanie narysować jako krzywą, dzięki czemu problemy geometrii można rozwiązywać algebrą. Pierre de Fermat wpadł na ten sam pomysł mniej więcej w tym samym czasie. Nazwa „kartezjański” pochodzi od łacińskiego imienia Cartesius, a siatka z dwiema prostopadłymi osiami przybrała dzisiejszą formę dopiero później.

Inne układy współrzędnych

Siatka to nie jedyny sposób opisu punktu. Współrzędne biegunowe używają odległości od środka i kąta, dzięki czemu okręgi i spirale stają się proste: r = 1 to okrąg. Szerokość i długość geograficzna wskazują miejsca na okrągłej Ziemi, a trzy osie x, y i z opisują przestrzeń. Osie logarytmiczne mieszczą ogromne zakresy w jednym widoku, więc wzrost wykładniczy widać jako linię prostą.

Często zadawane pytania

Co to jest asymptota?

Prosta, do której wykres zbliża się coraz bardziej, nigdy jej nie osiągając. 1/x ma asymptotę pionową w x = 0 i poziomą w y = 0, a tan x ma asymptotę pionową przy każdej nieparzystej wielokrotności π/2.

Do czego służy parametr a?

Zamienia jeden wzór w całą rodzinę wykresów. Przy a*x^2 parabola zwęża się, gdy a rośnie, i odwraca się, gdy a jest ujemne; przy sin(a*x) fala przyspiesza. Przesuwając suwak, widzisz, jak każda część wzoru kształtuje krzywą.

Dlaczego to układ kartezjański?

Nazwa pochodzi od René Descartes'a, który po łacinie podpisywał się Cartesius. Jego dzieło z 1637 roku pokazało, jak łączyć punkty z liczbami, co jest podstawą każdego wykresu na tej stronie.