関数、グラフ、座標系
グラフは式を一目でわかる形に変えます。どこで増えるのか、どこで 0 を横切るのか、どこで無限大へ飛んでいくのか。このページでは、関数とは何か、座標系の仕組み、そしてデカルトがどのようにして代数を描けるようにしたのかを説明します。
関数とは？
関数とは、入力ごとにちょうど 1 つの出力を与える規則です。f(x) = x² という規則は 3 を 9 に、−3 も 9 に変えます。関数が受け付ける入力の集まりを定義域といい、1/x は 0 で値をもたず、ln x は正の数でしか使えません。関数は、時間と距離、買う量と値段のように、ある量が別の量にどう依存するかを表します。
直交座標系
2 本の数直線が原点 (0, 0) で直角に交わります。横の x 軸と縦の y 軸です。平面上のすべての点には住所 (x, y) があり、右へどれだけ、上へどれだけ進むかを表します。関数のグラフはすべての点 (x, f(x)) の集まりで、軸上の各 x をその値の高さまで持ち上げたものです。軸は平面を 4 つの象限に分け、右上から反時計回りに番号を付けます。
デカルトと解析幾何学
1637 年、フランスの哲学者ルネ・デカルトは『方法序説』の付録として『幾何学』を発表しました。彼は、曲線を方程式として書き、方程式を曲線として描けることを示し、幾何学の問題を代数で解けるようにしました。ほぼ同じ頃、フェルマーも同じ考えにたどり着いています。「デカルト座標」の名はデカルトのラテン語名カルテシウスに由来し、2 本の垂直な軸をもつ方眼が今の形になったのはもっと後のことです。
ほかの座標系
方眼だけが点を表す方法ではありません。極座標は中心からの距離と角度を使うので、円やらせんが簡単になります。r = 1 は円です。緯度と経度は丸い地球上の場所を示し、x、y、z の 3 本の軸は空間を表します。対数軸は巨大な範囲を 1 つの画面に収め、指数関数的な増加を直線として見せます。
よくある質問
漸近線とは？
グラフがどこまでも近づくけれども決して届かない直線です。1/x には x = 0 の縦の漸近線と y = 0 の横の漸近線があり、tan x には π/2 の奇数倍ごとに縦の漸近線があります。
パラメーター a は何をするのですか？
1 つの式をグラフの族に変えます。a*x^2 では a が大きいほど放物線が細くなり、a が負になると上下が反転します。sin(a*x) では波が速くなります。スライダーを動かすと、式の各部分が曲線をどう形づくるかがわかります。
なぜデカルト座標と呼ぶのですか？
ラテン語でカルテシウスと名乗ったルネ・デカルトにちなんだ名前です。1637 年の著作で、点と数を結びつける方法を示しました。このページのすべてのグラフはその考えに基づいています。
関連ツール
関数グラフ描画
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