Funzioni e grafici | Sistemi di coordinate e Cartesio

Che cos'è una funzione?

Una funzione è una regola che associa a ogni ingresso esattamente un'uscita. La regola f(x) = x² trasforma 3 in 9 e anche −3 in 9. Gli ingressi accettati formano il suo dominio: 1/x non ha valore in 0 e ln x funziona solo per i numeri positivi. Le funzioni descrivono come una grandezza dipende da un'altra, come la distanza dal tempo o il prezzo dalla quantità.

Il sistema di coordinate cartesiane

Due rette numeriche si incrociano ad angolo retto nell'origine (0, 0): l'asse x orizzontale e l'asse y verticale. Ogni punto del piano riceve un indirizzo (x, y): quanto andare a destra e poi quanto salire. Il grafico di una funzione è l'insieme dei punti (x, f(x)), quindi ogni x sull'asse viene sollevato all'altezza del suo valore. Gli assi dividono il piano in quattro quadranti, numerati in senso antiorario a partire da quello in alto a destra.

Cartesio e la geometria analitica

Nel 1637 il filosofo francese René Descartes, noto in Italia come Cartesio, pubblicò La Géométrie in appendice al suo Discorso sul metodo. Mostrò che una curva si può scrivere come un'equazione e un'equazione disegnare come una curva, così i problemi di geometria si potevano risolvere con l'algebra. Pierre de Fermat ebbe la stessa idea più o meno nello stesso periodo. Il nome «cartesiano» deriva dal nome latino Cartesius, e la griglia con due assi perpendicolari prese più tardi la forma che usiamo oggi.

Altri sistemi di coordinate

Una griglia non è l'unico modo per descrivere un punto. Le coordinate polari usano una distanza dal centro e un angolo, il che rende semplici cerchi e spirali: r = 1 è un cerchio. Latitudine e longitudine individuano i luoghi sulla Terra rotonda, e tre assi x, y e z descrivono lo spazio. Gli assi logaritmici comprimono intervalli enormi in una sola vista, così una crescita esponenziale appare come una retta.

Domande frequenti

Che cos'è un asintoto?

Una retta a cui un grafico si avvicina sempre di più senza raggiungerla. 1/x ha un asintoto verticale in x = 0 e uno orizzontale in y = 0, e tan x ha un asintoto verticale a ogni multiplo dispari di π/2.

A che cosa serve il parametro a?

Trasforma una formula in una famiglia di grafici. Con a*x^2 la parabola si stringe quando a cresce e si capovolge quando a è negativo; con sin(a*x) l'onda diventa più rapida. Muovendo il cursore vedi come ogni parte della formula modella la curva.

Perché si chiama piano cartesiano?

Prende il nome da René Descartes, che in latino si firmava Cartesius. La sua opera del 1637 mostrò come collegare i punti ai numeri, l'idea alla base di ogni grafico di questa pagina.