Về hàm số và đồ thị | Hệ tọa độ và Descartes

Hàm số là gì?

Hàm số là một quy tắc cho đúng một đầu ra với mỗi đầu vào. Quy tắc f(x) = x² biến 3 thành 9 và −3 cũng thành 9. Các đầu vào mà hàm chấp nhận tạo thành tập xác định: 1/x không có giá trị tại 0, còn ln x chỉ dùng được với số dương. Hàm số mô tả một đại lượng phụ thuộc vào đại lượng khác thế nào, như quãng đường theo thời gian hay giá tiền theo số lượng mua.

Hệ tọa độ Descartes

Hai trục số cắt nhau vuông góc tại gốc tọa độ (0, 0): trục x nằm ngang và trục y thẳng đứng. Mỗi điểm trên mặt phẳng có một địa chỉ (x, y): đi sang phải bao xa rồi đi lên bao xa. Đồ thị của hàm số là tập hợp mọi điểm (x, f(x)), tức là mỗi x trên trục được nâng lên đúng độ cao của giá trị của nó. Hai trục chia mặt phẳng thành bốn góc phần tư, đánh số ngược chiều kim đồng hồ từ góc trên bên phải.

René Descartes và hình học giải tích

Năm 1637, nhà triết học người Pháp René Descartes xuất bản La Géométrie như phụ lục của tác phẩm Luận về phương pháp. Ông cho thấy một đường cong có thể viết thành phương trình và một phương trình có thể vẽ thành đường cong, nhờ đó các bài toán hình học có thể giải bằng đại số. Pierre de Fermat cũng có ý tưởng tương tự vào khoảng cùng thời gian. Tên gọi Descartes trong “tọa độ Descartes” đến từ tên Latinh của ông là Cartesius, còn lưới với hai trục vuông góc mãi sau này mới có dạng như ngày nay.

Các hệ tọa độ khác

Lưới không phải cách duy nhất để mô tả một điểm. Tọa độ cực dùng khoảng cách tới tâm và một góc, khiến đường tròn và đường xoắn ốc trở nên đơn giản: r = 1 là một đường tròn. Vĩ độ và kinh độ xác định vị trí trên Trái Đất hình cầu, còn ba trục x, y và z mô tả không gian. Trục logarit nén những khoảng rất lớn vào một khung nhìn, nên tăng trưởng hàm mũ hiện ra như một đường thẳng.

Hỏi thường xuyên

Tiệm cận là gì?

Một đường thẳng mà đồ thị tiến lại gần mãi nhưng không bao giờ chạm tới. 1/x có tiệm cận đứng x = 0 và tiệm cận ngang y = 0, còn tan x có tiệm cận đứng tại mọi bội lẻ của π/2.

Tham số a dùng để làm gì?

Nó biến một công thức thành cả một họ đồ thị. Với a*x^2, parabol hẹp lại khi a tăng và lật ngược khi a âm; với sin(a*x), sóng dày hơn. Kéo thanh trượt cho thấy mỗi phần của công thức tạo hình đường cong như thế nào.

Vì sao gọi là hệ tọa độ Descartes?

Tên gọi này lấy theo René Descartes, người viết bằng tiếng Latinh dưới tên Cartesius. Tác phẩm năm 1637 của ông cho thấy cách gắn điểm với số, ý tưởng đứng sau mọi đồ thị trên trang này.